Het differentiequotiënt

Differentiëren: De afgeleide

Het differentiequotiënt

Verandering speelt een grote rol in het bestuderen van wiskunde en in het bijzonder bij het bestuderen van functies. In het volgende voorbeeld kijken we naar de gemiddelde verandering op een gekozen interval.

We berekenen de gemiddelde verandering op het interval $[2,4]$ voor de functie $f(x)=2x-2$ .

De horizontale verandering $\blue{\Delta x}$ is: $\blue{\Delta x} = 4 - 2 = \blue{2}$ De verticale verandering $\green{\Delta y}$ is: $\green{\Delta y} = f(4)-f(2)=6 - 2 = \green{4}$ De gemiddelde verandering is dus:

$\frac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}} = \frac{\green{4}}{\blue{2}}=2$

Merk op dat de notatie $[a,b]$ voor een interval ook gebruikt kan worden voor coördinaten.

plaatje

Natuurkundige toepassing

Als we de gemiddelde snelheid van iets willen uitrekenen gaat dit precies hetzelfde. Stel een vliegtuig legt $4800$ meter af in $20$ seconden, dan is de gemiddelde snelheid van het vliegtuig $\frac{4800}{20}=240$ meter per seconde.

Lineaire functies

Bij lineaire functies, zoals in het voorbeeld, is de gemiddelde verandering op elk interval hetzelfde. Stel we hebben de functie $f(x)=px+q$ , dan wordt de gemiddelde verandering op een willekeurig interval $[a,b]$ gegeven door
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{p\cdot b + q - (p\cdot a +q)}{b-a}=\frac{p\cdot b + q - p\cdot a -q}{b-a}=\frac{p\cdot(b-a)}{b-a}=p$

We noemen de gemiddelde verandering op een interval ook wel het differentiequotiënt.

Differentiequotiënt

Het differentiequotiënt van een functie $f$ op een interval $[a,b]$ wordt gegeven door:

$\dfrac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}}=\dfrac{\green{f(b)-f(a)}}{\blue{b-a}}$

plaatje

Etymologie

De naam differentiequotiënt komt van een combinatie van twee woorden. Letterlijk betekent quotiënt 'het gevolg van deling', differentie betekent 'verschil'. Deze twee woorden geven samen eigenlijk precies de essentie weer, je deelt immers twee verschillen door elkaar.

Gegeven is de functie $f(x)=x^3 + 3 x + 3$ . Wat is het differentiequotiënt op het interval $[1,6]$ ? Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=$ $46$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=&\dfrac{f(6)-f(1)}{6-1}\\&&\phantom{xxx}\blue{a=1 \text{ en }b= 6}\\ &=&\dfrac{(1\cdot 6^3+3\cdot 6 + 3)-(1\cdot1^3+3\cdot1 + 3)}{6-1}\\&&\phantom{xxx}\blue{x=1 \text{ en } x=6 \text{ gesubstitueerd in } f}\\ &=& \dfrac{230}{5}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{opgeteld}}\\ &=&46\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld}}\end{array}$

Nieuw voorbeeld