Équations du premier degré

Équations du premier degré: Équations et inéquations du premier degré

Équations du premier degré

Nous venons de voir que deux droites peuvent être sécantes. Si deux droites se coupent, il est intéressant de connaître les coordonnées du point d'intersection. Parfois, nous pouvons facilement lire ces coordonnées à partir d'un graphique, mais souvent ceci manque de précision. Ainsi, nous présenterons une méthode pour déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection de deux droites. Nous nous concentrons d'abord à déterminer la coordonnée $x$ de ce point.

Équation du premier degré

Si nous posons deux équations de droites égales, nous obtenons une équation du premier degré. Par exemple, considérons les équations $\blue{y=x+1}$ et $\green{y=2x}$ . Si nous posons ces deux équations égales, nous obtenons l'équation du premier degré $x+1=2x$ La solution de cette équation d'inconnue $x$ est la valeur de $x$ pour laquelle l'égalité est vraie.

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Nous allons voir maintenant comment résoudre une équation du premier degré.

Équations équivalentes

Deux équations qui admettent la même solution sont appelées équivalentes. Pour indiquer cette équivalence, nous utilisons le symbole $\Leftrightarrow$ .

Exemple

$\begin{array}{rcl}2x+2=1 &\Leftrightarrow&2x=-1 \\ \\ 3x=2 &\Leftrightarrow& 6x=4 \end{array}$

Il y a quelques règles que nous pouvons utiliser pour obtenir des équations équivalentes. À l'aide de ces règles, nous pouvons réécrire systématiquement une équation sous la forme $x=a$ . Ceci est appelé résolution de l'équation.

Deux équations sont équivalentes si nous additionnons ou soustrayons le même terme aux deux membres.

En général, nous écrivons des équations équivalentes l'une en dessous de l'autre comme dans l'exemple ci-contre.

Exemple

$\begin{array}{rrcl}&3x+4&=&5\\ &3x+4-4&=&5-4 \\ & 3x&=&1\end{array}$

Balance

Cette règle peut être expliquée en comparant une équation à une balance.

Du côté gauche de la balance, nous avons le membre de gauche de l'équation et à droite le membre de droite de l'équation. La balance est en équilibre, car les expressions des deux membres sont égales.

Si nous ajoutons un poids de $x$ kilos aux deux côtés, la balance reste en équilibre. De même, si nous retirons des poids de $1$ kilo (nombres) au lieu de $x$ kilos.

Exemple

Si nous considérons l'équation $4x+2=3x+5$ , la balance contient à gauche $4$ poids de $x$ kilos et $2$ poids de $1$ kilo. À droite de la balance, nous avons $3$ poids de $x$ kilos et $5$ poids de $1$ kilo.

	Côté gauche de la balance	Côté droit de la balance
Équation de départ	$4$ poids de $x$ kilos et $2$ poids de $1$ kilo	$3$ poids de $x$ kilos et $5$ poids de $1$ kilo
Des deux côtés retirez $2$ poids de $1$ kilo	$4$ poids de $x$ kilos	$3$ poids de $x$ kilos et $3$ poids de $1$ kilo
Des deux côtés retirez $3$ poids de $x$ kilos	$1$ poids de $x$ kilos	$3$ poids de $1$ kilo

La balance est en équilibre pour les trois étapes, car nous avons retiré les mêmes poids aux deux côtés. Nous savons maintenant que le poids $x$ pèse $3$ kilos et ainsi la solution de l'équation est $x=3$ .
Nous pouvons vérifier ceci en substituant $x=3$ dans l'équation de départ: $4 \cdot 3 +2 = 3 \cdot 3 +5$

Deux équations sont équivalentes si nous multiplions ou divisons les deux membres par un même nombre. Ce nombre ne peut pas être égal à $0$ .

Exemple

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2}\cdot x+2&=&5 \\ 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot x+2\right)&=&2 \cdot 5 \\ x+4&=&10 \end{array}$

Balance

Cette règle peut également être expliquée à l'aide de la balance. Si les deux côtés d'une balance sont en équilibre et nous mettons exactement le double du poids initial aux deux côtés, alors la balance reste en équilibre. De même si nous mettons le triple ou la moitié du poids initial aux deux côtés.

Exemple

Si nous considérons l'équation $4x=8$ , nous avons $4$ poids de $x$ kilos au côté gauche de la balance. Au côté droit, nous avons $8$ poids de $1$ kilo.

	Côté gauche de la balance	Côté droit de la balance
Équation de départ	$4$ poids de $x$ kilos	$8$ poids de $1$ kilo
Divisez les deux côtés par $4$	$1$ poids de $x$ kilos	$2$ poids de $1$ kilo

La balance est en équilibre pour les deux étapes. Nous savons qu'un poids $x$ pèse $2$ kilos. Ainsi, la solution de l'équation de départ est $x=2$ . Nous pouvons vérifier ceci en substituant $x=2$ dans l'équation de départ:

$4 \cdot 2 =8$

En utilisant ces règles, nous pouvons résoudre étape par étape une équation du premier degré. Dans les exemples ci-dessous, vous pouvez voir comment ceci est fait.

Trouvez l'unique valeur de $x$ telle que $9\cdot x+8=-1$ .

Donnez votre réponse finale sous la forme $x=\ldots$ et simplifiez autant que possible.

$x=-1$

$\begin{array}{rcl} 9\cdot x+8&=&-1\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation de départ}}\\ 9\cdot x&=&-9\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }8\text{ aux deux membres}}\\ x&=&\dfrac{-9}{9}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division des deux membres par }9\text{}}\\ x&=&\displaystyle -1\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification du membre de droite }} \end{array}$

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