Résolution d'équations du second degré par factorisation

Équations du second degré: Résolution d'équations du second degré

Résolution d'équations du second degré par factorisation

Nous avons appris à factoriser une expression en l'écrivant avec des parenthèses simples ou des parenthèses doubles. Nous allons maintenant utiliser ces factorisations pour résoudre des équations du second degré.

Produit-nul

Une équation sous la forme

$\blue A \cdot \green B =0$

implique

$\blue A=0 \lor \green B=0$

Exemple

$\left(\blue{x-2}\right) \left(\green{x+4}\right)=0$

implique

$\blue{x-2}=0 \lor \green{x+4}=0$

Rappelez-vous que la multiplication par $0$ donne toujours $0$ .

Considérons l'équation $\blue A \cdot \green B =0$ . Ici, il est possible de distinguer les cas suivants.

$\blue A =0$ et $\green B=0$

Dans ce cas, l'équation devient $\blue0 \cdot \green0 = 0$ .

$\blue A =0$ et $\green B \ne 0$

Dans ce cas, l'équation devient $\blue0 \cdot \green B = 0$ .

$\blue A \ne 0$ et $\green B =0$

Dans ce cas, l'équation devient $\blue A \cdot \green0 =0$ .

$\blue A \ne 0$ et $\green B \ne 0$

Dans ce cas, l'équation devient $\blue A \cdot \green B \ne 0$ .

En conclusion, l'équation $\blue A \cdot \green B =0$ si et seulement si $\blue A=0$ ou $\green B=0$ .

En appliquant ce théorème, nous pouvons résoudre aisément une équation du second degré qui peut être factorisée.

Résolution d'équations du second degré par factorisation

	Procédure	Exemple
	Résolution d'une équation du second degré pour $x$ par factorisation.	$2x^2+6x+4=6x+6$
Étape 1	Réduisez l'équation de telle manière que le membre de droite est égal à $0$ .	$2x^2-2=0$
Étape 2	Vérifiez que le coefficient de $x^2$ est égal à $1$ .	$x^2-1=0$
Étape 3	Factorisez le membre de gauche de l'équation.	$\left(\blue{x+1}\right) \left(\green{x-1}\right)=0$
Étape 4	Appliquez la règle $\blue A \cdot \green B =0$ implique $\blue A=0 \lor \green B=0$ .	$\blue{x+1}=0 \lor \green{x-1}=0$
Étape 5	Résolvez les équations $\blue A=0$ et $\green B=0$ .	$x=-1 \lor x=1$

Pas toujours applicable

Comme nous l'avons vu plus haut, pas toutes les expressions du second degré peuvent être factorisées. Ainsi, pas toutes les équation du second degré peut être résolues en suivant la procédure décrite ci-dessus. Plus tard, nous présenterons une méthode qui fonctionne pour toutes les équations du second degré. Cette méthode nécessite plus de travail et ainsi, il est conseillé de vérifier d'abord si une équation du second degré peut être résolue par factorisation.

Résolvez l'équation pour $x$ par factorisation

$x^2-7\cdot x-8=0\tiny$
Donnez votre réponse finale sous la forme $x=a\lor x=b$ .

$x = 8 \lor x = -1$

$\begin{array}{rcl} x^2-7\cdot x-8&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\ \left(x-8\right)\cdot \left(x+1\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation du membre de gauche}}\\ x-8=0& \lor& x+1=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ si et seulement si }A=0\lor B=0}\\ x = 8 &\lor& x = -1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\ \end{array}$

Nouveau exemple