Points d'intersection d'une parabole avec une droite

Équations du second degré: Points d'intersection de paraboles

Points d'intersection d'une parabole avec une droite

Une parabole $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ et une droite $y=a_2x+b_2$ peuvent avoir aucun, un ou deux points d'intersection. Nous allons maintenant étudier comment trouver ces points d'intersection.

Points d'intersection d'une parabole et d'une droite

	Procédure	GeoGebra plaatje
	Nous déterminons le point d'intersection de la parabole $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ et de la droite $y=a_2x+b_2$ .
Étape 1	Nous déterminons d'abord l'abscisse $x$ du point d'intersection en résolvant l'équation $a_1x^2+b_1x+c_1=a_2x+b_2$ par factorisation, par complément quadratique ou en utilisant la formule quadratique.
Étape 2	Nous déterminons l'ordonnée $y$ du point d'intersection en substituant l'abscisse obtenue $x$ dans l'une des deux équations. Généralement, il est plus facile de substituer dans l'équation de la droite.

Nombre de points d'intersection et graphique Nous allons maintenant étudier comment reconnaître le nombre de points d'intersection entre une parabole et une droite. À l'étape 1, nous pouvons calculer le nombre de points d'intersection à l'aide de la formule quadratique. En outre, le nombre de points d'intersection est visible dans le graphique.

Équations $y=x^2+2x+2$ $y=3x-5$	Équations $y=x^2+2x+2$ $y=3x+\tfrac{7}{4}$	Équations $y=x^2+2x+2$ $y=3x+4$
Équation à résoudre $x^2+2x+2=3x-5$	Équation à résoudre $x^2+2x+2=3x+\tfrac{7}{4}$	Équation à résoudre $x^2+2x+2=3x+4$
Réduction à $0$ $x^2\green{-}x+\purple{7}=0$	Réduction à $0$ $x^2\green{-}x+\purple{\tfrac{1}{4}}=0$	Réduction à $0$ $x^2\green{-}x\purple{-2}=0$
Discriminant $\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{7}\\&=&\orange{-27}\lt 0\end {array}$	Discriminant $\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{\frac{1}{4}}\\&=&\orange{0}\end {array}$	Discriminant $\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{-2}\\&=&\orange{9}\gt 0\end {array}$

Aucun point d'intersection.	Un point d'intersection (point de tangence): $\rv{\frac{1}{2}, \frac{13}{4}}$ .	Deux points d'intersection: $\rv{-1,1}$ et $\rv{2,10}$ .

Les graphes de $y = -x^2-8\cdot x\phantom{xxx}\text{ et }\phantom{xxx} y = -x$
se coupent en deux points. Déterminez les deux points d'intersection.

Donnez votre réponse sous la forme $\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}$ avec les valeurs exactes pour $a$ , $b$ , $c$ et $d$ .

$\left \{\rv{ -7 , 7 } , \rv{ 0 , 0 } \right \}$

L'abscisse $x$ d'un point appartenant aux deux graphes doit vérifier:
$-x^2-8\cdot x = -x\tiny.$
Nous résolvons cette équation par factorisation.
$\begin{array}{rcl} -x^2-7\cdot x &=& 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{termes mis dans le membre de gauche}}\\ x^2+7\cdot x &=& 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{multiplication par -des deux membres }}\\ x\cdot \left(x+7\right) &=&0 \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{factorisation}}\\ x = 0 &\lor& x+7=0 \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{A\cdot B=0 \text{ si et seulement si }A=0\lor B=0}\\ x=0 &\lor& x=-7 \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{terme constant mis dans le membre de droite}}\\ \end{array}$
Nous pouvons maintenant calculer l'ordonnée correspondante $y$ en substituant l'abscisse $x$ dans une des deux équations. Nous choisissons l'équation de la droite. Nous calculons d'abord l'ordonnée $y$ pour $x=-7$ .
$\begin{array}{rcl} y&= & -\left(-7\right) = 7 \end{array}$
Nous calculons ensuite l'ordonnée $y$ pour $x=0$ .
$\begin{array}{rcl} y&=& 0 \end{array}$
Finalement les $2$ points d'intersection sont : $\left \{\rv{ -7 , 7 } , \rv{ 0 , 0 } \right \}\tiny.$

Nous constatons que les points d'intersection calculés correspondent aux points d'intersection identifiés à l'étape 1. Considérez le graphique ci-dessous dans lequel les points d'intersection sont tracés en rouge.

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