Équations irrationnelles

Fonctions: Fonctions puissances et fonctions irrationnelles

Équations irrationnelles

Exemples des équations irrationnelles.

Résolvez
$\sqrt{4x+5}=3$
Donnez votre réponse sous la forme $x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n$ où $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ $x_n$ sont des nombres et $n$ le nombre de solutions.

$x=1$

$\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\ 4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{élévation au carré}}\\ 4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }5}\\ x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }4}\end{array}$

Nous vérifions les solutions trouvées en substituant $x=1$ dans l'équation:
$\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3$
Donc la solution est correcte et la soultion à l'équation est $x=1$ .

Dans le repère ci-dessous, nous voyons le graphe de $f(x)=\sqrt{4x+5}$ en bleu et de $g(x)=3$ en vert, et leur point d'intersection $\rv{1,3}$ en rouge.

Nouveau exemple

En général, nous pouvons résoudre une équation irrationnelle à l'aide des $4$ étapes suivantes.

Résolution d'équations irrationnelles

	Procédure Nous résolvons une équation irrationnelle.	Exemple $\sqrt{x+4}+4=9$
Étape 1	Isolez la racine. Cela signifie que nous assurons que la racine carrée est seul dans un membre de l'équation.	$\sqrt{x+4}=5$
Étape 2	Prenez le carré des deux membres pour se débarrasser de la racine.	$x+4=25$
Étape 3	Résolvez cette équation.	$x=21$
Étape 4	Vérifiez si la solution trouvée est bien une solution à l'équation de départ.	$\sqrt{21+4}+4=9$ Ainsi, la solution est correcte.

Vérification La vérification des solutions est nécessaire, car en prenant le carré nous pouvons trouver des "solutions" qui ne sont pas des solutions à l'équation de départ. Cela peut être vue dans le second exemple en haut de cette page.

Résolvez l'équation
$\sqrt{5\cdot x+2}=\sqrt{9-x}$
Donnez votre réponse sous la forme

$aucun$ s'il n'y a pas de solution,
$x=x_1$ s'il y a une solution,
$x=x_1\lor x=x_2$ s'il y a deux solutions,

avec les valeurs correctes pour $x_1$ et $x_2$ .

$x={{7}\over{6}}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{5\cdot x+2}&=& \sqrt{9-x}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\ 5\cdot x+2&=&9-x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{élévation au carré}} \\ 6\cdot x&=&7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termes en }x \text{ à gauche, termes constants à droite}} \\ x&=&{{7}\over{6}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par le coefficient de }x} \\ \end{array}$
Nous vérifions les solutions trouvées en les substituant dans l'équation de départ.
Pour le membre de gauche:
$\sqrt{5\cdot \left({{7}\over{6}}\right)+2}={{\sqrt{47}}\over{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}}$
Pour le membre de droite:
$\sqrt{9-{{7}\over{6}}}={{\sqrt{47}}\over{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}}$
Les deux membres sont égaux donc la solution est correcte.
Finalement, la solution de l'équation de départ est $x={{7}\over{6}}$ .

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