Functies: Wortelfuncties
Wortelvergelijkingen
Hier zijn voorbeelden waarin een wortelvergelijking opgelost moet worden.
#x=1#
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gekwadrateerd}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }4}\end{array}\]
Nu controleren we de gevonden oplossing #x=1# door deze in de vergelijking in te vullen:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Dus de oplossing voldoet en dus is de oplossing van de vergelijking #x=1#.
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gekwadrateerd}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }4}\end{array}\]
Nu controleren we de gevonden oplossing #x=1# door deze in de vergelijking in te vullen:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Dus de oplossing voldoet en dus is de oplossing van de vergelijking #x=1#.
In het assenstelsel hieronder zien we de grafiek #f(x)=\sqrt{4x+5}# in blauw (doorgetrokken) en #g(x)=3# in groen (gestreept) en hun snijpunt #\rv{1,3}# in rood.
In het algemeen kunnen we een wortelvergelijking oplossen met de onderstaande #4# stappen.
Oplossen wortelvergelijking
|
Stappenplan We lossen een wortelvergelijking in #x# op. |
Voorbeeld #\sqrt{x+4}+4=9# |
|
| Stap 1 | Isoleer de wortel. Dat betekent dat we door middel van herleiden zorgen dat de wortel alleen komt te staan. |
#\sqrt{x+4}=5# |
| Stap 2 | Kwadrateer beide zijden om de wortel weg te werken. |
#x+4=25# |
| Stap 3 | Los de ontstane vergelijking op. |
#x=21# |
| Stap 4 | Controleer of de gevonden oplossing een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is. |
#\sqrt{21+4}+4=9# Dus de oplossing voldoet. |
# x={{11}\over{9}} #
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{5\cdot x-4}&=& \sqrt{7-4\cdot x}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
5\cdot x-4&=&7-4\cdot x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gekwadrateerd}} \\
9\cdot x&=&11 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x \text{ naar links, constante termen naar rechts}} \\
x&=&{{11}\over{9}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door de coëfficiënt van }x} \\
\end{array}\]
\[\sqrt{5\cdot \left({{11}\over{9}}\right)-4}={{\sqrt{19}}\over{3}}\]
Aan de rechter kant staat:
\[\sqrt{7-4\cdot \left({{11}\over{9}}\right)}={{\sqrt{19}}\over{3}}\]
Links en rechts zijn gelijk, dus deze oplossing is correct.
De oplossing van de vergelijking is dus # x={{11}\over{9}} #.
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{5\cdot x-4}&=& \sqrt{7-4\cdot x}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
5\cdot x-4&=&7-4\cdot x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gekwadrateerd}} \\
9\cdot x&=&11 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x \text{ naar links, constante termen naar rechts}} \\
x&=&{{11}\over{9}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door de coëfficiënt van }x} \\
\end{array}\]
Omdat we gekwadrateerd hebben, is de gevonden oplossing voor #x# mogelijk geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. Daarom moeten we de gevonden oplossing nu controleren door hem in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Aan de linker kant staat:\[\sqrt{5\cdot \left({{11}\over{9}}\right)-4}={{\sqrt{19}}\over{3}}\]
Aan de rechter kant staat:
\[\sqrt{7-4\cdot \left({{11}\over{9}}\right)}={{\sqrt{19}}\over{3}}\]
Links en rechts zijn gelijk, dus deze oplossing is correct.
De oplossing van de vergelijking is dus # x={{11}\over{9}} #.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
