Fonctions puissances

Fonctions: Fonctions puissances

Fonctions puissances

La fonction $\blue {f}$ a pour ensemble image $\ivco{0}{\infty}$ .
L'axe des $y$ est l'axe de symétrie.
Le sommet est $\rv{0,0}$ .

La fonction $\green{g}$ a pour ensemble image $\ivoo{-\infty}{\infty}$ .
Le point $\rv{0,0}$ est le centre de symétrie.

Les deux fonctions de l'exemple ci-dessus sont des fonctions puissances. Leurs graphes diffèrent beaucoup. Cela a avoir avec le fait que $\blue{f}$ est une fonction puissance à exposant pair et que $\green g$ est fonction puissance à exposant impair.

Fonctions puissances

Une fonction de la forme

$f(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ avec $\blue{a} \ne 0$ est une fonction puissance.

Le graphe d'une fonction puissance à exposant entier $\orange{n} \gt 0$ passe par les points $\rv{0,0}$ et $\rv{1,\blue a}$ .

De plus, les graphes des fonctions puissances diffèrent selon la parité de $\orange{n}$ . Si $\orange{n}$ est pair, alors le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ . Si $\orange{n}$ est impair, alors le graphe est symétrique par rapport au point $\rv{0,0}$ .

plaatje

Fonction paire et impaire

Si $\orange{n}$ est pair, alors nous appelons $f(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ une fonction paire. Dans ce cas, nous avons

$f(-x)=f(x)$

Ceci est une autre façon de décrire que le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ .

Si $\orange{n}$ est impair, alors nous appelons $g(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ une fonction impaire. Dans ce cas, nous avons

$g(-x)=-g(x)$

Ceci est une autre façon de décrire que le graphe est symétrique par rapport au point $\rv{0,0}$ .

Exemple

Pour $f(x)=x^{\orange{4}}$ , nous avons:

$f(-2)=\left(-2\right)^{\orange{4}}=16=\left(2\right)^{\orange{4}}=f(2)$

Pour $g(x)=x^{\orange{3}}$ , nous avons:

$f(-2)=\left(-2\right)^{\orange{3}}=8=-\left(2\right)^{\orange{3}}=-f(2)$

Considérez le graphe d'une fonction puissance de la forme $f(x)=ax^n$ .

Que pouvez-vous dire des valeurs de $n$ et $a$ ?

La valeur de $n$ est: paire
La valeur de $a$ est: positive

Le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ , donc la valeur de $n$ est paire.
Les ordonnées $y$ sont positives pour des abscisses $x$ positives, donc la valeur de $a$ est positive.

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