Machtsfuncties

Functies: Machtsfuncties

Machtsfuncties

De functie $\blue {f}$ heeft als bereik het interval $\ivco{0}{\infty}$ .
De $y$ -as is de symmetrie-as.
De top is $\rv{0,0}$ .

De functie $\green{g}$ heeft als bereik het interval $\ivoo{-\infty}{\infty}$ .
Het punt $\rv{0,0}$ is een symmetriepunt.

De twee functies in het bovenstaande voorbeeld zijn beide machtsfuncties. Het is wel duidelijk dat beide functies erg van elkaar verschillen. Dit heeft te maken met dat $\blue{f}$ een machtsfunctie met een even macht is en dat $\green g$ een machtsfunctie met een oneven macht is.

Machtsfuncties

Een functie van de vorm

$f(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ met $\blue{a} \ne 0$ is een machtsfunctie.

De grafiek van een machtsfunctie met $\orange{n} \gt 0$ en geheel gaat door de punten $\rv{0,0}$ en $\rv{1,\blue a}$ .

Verder verschilt de grafiek van machtsfuncties erg aan de hand van of $\orange{n}$ even is of oneven. Bij even $\orange{n}$ is de grafiek symmetrisch in de $y$ -as. Bij oneven $\orange{n}$ is de grafiek symmetrisch in het punt $\rv{0,0}$ .

plaatje

Even en oneven functie

Voor even $\orange{n}$ noemen we $f(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ een even functie. Dat betekent dat:

$f(-x)=f(x)$

Dit is dus een andere manier om te beschrijven dat de grafiek symmetrisch is in de $y$ -as.

Voor oneven $\orange{n}$ noemen we $g(x)=\blue{a}x^{\orange{n}}$ een oneven functie. Dat betekent dat:

$g(-x)=-g(x)$

Dit is dus een andere manier om te beschrijven dat de grafiek puntsymmetrisch is in $\rv{0,0}$ .

Voorbeeld

Voor $f(x)=x^{\orange{4}}$ geldt:

$f(-2)=\left(-2\right)^{\orange{4}}=16=\left(2\right)^{\orange{4}}=f(2)$

Voor $g(x)=x^{\orange{3}}$ geldt:

$f(-2)=\left(-2\right)^{\orange{3}}=8=-\left(2\right)^{\orange{3}}=-f(2)$

Bekijk de grafiek van een machtsfunctie van de vorm $f(x)=ax^n$ .

Wat weten we over de waarde van $n$ en $a$ ?

De waarde van $n$ is: oneven
De waarde van $a$ is: positief

De grafiek is symmetrisch in het punt $\rv{0,0}$ , dus de waarde van $n$ is oneven.
De $y$ -waarde is positief als de waarde van $x$ positief is, dus de waarde van $a$ is positief.

Nieuw voorbeeld