Équations avec des fonctions puissances

Fonctions: Fonctions puissances

Équations avec des fonctions puissances

Lors des équations du second degré, nous avons vu comment résoudre une équation du type $x^2=c$ . De même, nous utiliserons les racines n-ièmes pour résoudre une équation du type $x^n=c$ .

Les solutions de l'équation $x^\orange{n}=\blue{c}$ dépendent des valeurs de $\orange n$ et $\blue c$ .

$\blue{c} \gt 0$

$\blue{c}=0$

$\blue{c} \lt 0$

$\orange{n}$ pair

Deux solutions:

$x=-\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}} \lor x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}$

Une solution:

$x=0$

Aucune solution

$\orange{n}$ impair

Une solution:

$x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}$

Une solution:

$x=0$

Une solution:

$x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}$

Puissances fractionnaires Nous avons vu la règle suivante pour les puissances fractionnaires :

$\sqrt[\orange{n}]{x}=x^{\frac{1}{\orange{n}}}$

Ainsi, nous pouvons également écrire les solutions à l'aide des puissances fractionnaires. Les solutions sont alors:

$\blue{c} \gt 0$

$\blue{c}=0$

$\blue{c} \lt 0$

$\orange{n}$ pair

Deux solutions:

$x=-\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}} \lor x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}$

Une solution:

$x=0$

Aucune solution

$\orange{n}$ impair

Une solution:

$x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}$

Une solution:

$x=0$

Une solution:

$x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}$

Dans les exemples suivants, vous allez voir que vous pouvez réduire de nombreuses équations sous la forme $x^\orange{n}=\blue{c}$ et les résoudre par la suite.

Résolvez $3\, x^{6}+2=7$ .

Donnez votre réponse sous la forme $x=x_1$ ou $x=x_1 \lor x=x_2$ avec $x_1$ et $x_2$ des nombres.

$x=\frac{1}{3}\sqrt[6]{1215} \lor x=-\frac{1}{3}\sqrt[6]{1215}$

$\begin{array}{rcl}3\, x^{6}+2&=& 7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ 3\, x^{6}&=&5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }2} \\ x^{6} &=& {{5}\over{3}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }3} \\ x=\sqrt[6]{{{5}\over{3}}} &\lor& x=-\sqrt[6]{{{5}\over{3}}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{application de la racine }6 \text{-ième}}\\ x=\frac{1}{3}\sqrt[6]{1215} &\lor& x=-\frac{1}{3}\sqrt[6]{1215}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}} \end{array}$

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