Réciproque de fonctions homographiques

Fonctions: Fonctions rationnelles

Réciproque de fonctions homographiques

Nous avons vu que déterminer la fonction réciproque revient à isoler la variable $x$ dans une équation de la forme $y=\ldots$ . Maintenant, nous allons voir comment le faire pour des fonctions homographiques.

	Procédure Nous déterminons la réciproque de la fonction homographique $\green{y}=\frac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}$ avec $a$ , $b$ , $c$ et $d$ des nombres.	Exemple $\green{y}=\frac{2\blue{x}-5}{3\blue{x}+2}$
Étape 1	Multipliez par le dénominateur de la fraction: $c\blue{x}+d$ .	$\green{y} \left(3\blue{x}+2\right)=2\blue{x}-5$
Étape 2	Développez les parenthèses.	$3\blue{x}\green{y}+2 \green{y}=2\blue{x}-5$
Étape 3	Mettez les termes constants à droite et les termes en $x$ à gauche.	$3\blue{x}\green{y}-2\blue{x}=-2 \green{y}-5$
Étape 4	Mettez $x$ en évidence.	$\blue x \left(3 \green{y}-2\right)=-2 \green{y}-5$
Étape 5	Divisez par les parenthèses, pour avoir que $x$ à gauche.	$\blue x=\frac{-2 \green{y}-5}{3 \green{y}-2}$
Étape 6	Échangez $\blue x$ et $\green y$ pour obtenir la fonction réciproque.	$\green y=\frac{-2 \blue{x}-5}{3 \blue{x}-2}$

Si la question est d'isoler la variable $x$ , nous ne devons pas passer à l'étape 6 de la procédure. Nous sommes prêts après l'étape 5.

D'autre part, si nous nous demandons de déterminer la réciproque d'une fonction de la forme $f(x)=\tfrac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}$ nous remplaçons d'abord $f(x)$ par $\green y$ puis nous appliquons la procédure. Après l'étape 6, nous pouvons de nouveau remplacer $\green y$ par $f^{-1}(x)$ .

Isolez $x$ dans
$y={{x+5}\over{x-8}}$

$x={{8\cdot y+5}\over{y-1}}$

$\begin{array}{rcl} y&=&{{x+5}\over{x-8}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation }}\\ y \cdot \left(x-8\right)&=& x+5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }x-8}\\ x\cdot y-8\cdot y&=&x+5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{développement des parenthèses}}\\ x\cdot y-x &=&8\cdot y+5 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ter‍mes avec } x \text{ à gauche, termes sans }x \text{ à droite }}\\ x\cdot \left(y-1\right) &=& 8\cdot y+5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{x \text{ mis en évidence}}\\ x&=&{{8\cdot y+5}\over{y-1}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }y-1}\\ \end{array}$

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