Fonction et formule

Fonctions: Domaine de définition et ensemble image

Fonction et formule

Considérez la formule $\orange y=4 \cdot \blue x+2$ .

Nous pouvons comparer ceci à une machine qui effectue un programme de calcul. Si nous entrons $\blue x$ dans la machine, la machine va le multiplier par $4$ , puis ajouter $2$ au résultat. La valeur que nous obtenons alors est la valeur correspondante $\orange y$ .

Par exemple, $\blue x= \blue 2$ donne $4 \cdot \blue2 +2=10$ , donc $\orange y=\orange{10}$ .

Nous pouvons dire que la machine fait correspondre l'image $\orange{10}$ à l'antécédent $\blue 2$ . Une telle « machine » est appelée fonction.

$\begin{array}{lcl} &\blue x \text{ ($\blue{\text{antécédent}}$)}& \; \\ &\downarrow& \\ &\text{multiplication par }4 & \\ &\downarrow& \\ &\text{ addition de $2$ }& \\ &\downarrow& \\ &\orange y \text{ ($\orange{\text{image}}$)}& \end{array}$

Fonction

Une fonction fait correspondre une $\orange{\text{image}}$ unique à chaque $\blue{\text{antécédent}}$ .

Nous pouvons souvent trouver une formule correspondante à une fonction.

Exemple

$\orange y=4 \cdot \blue x +2$

Ici $\blue x$ est l'antécédent et $\orange{y}$ est l'image.

En général, nous travaillons avec des fonctions pour lesquelles nous pouvons écrire des formules de la forme $y=\ldots$ . Mais ce n'est pas toujours le cas. Considérez l'exemple à droite.

Or, il y a également des équations qui ne correspondent pas à des fonctions. L'équation du cercle de centre $\rv{0,0}$ et de rayon $1$ est:

$x^2+y^2=1$

Ici, à l'antécédent $x=0$ correspondent deux valeurs différentes de $y$ , $y=1$ ou $y=-1$ . Mais une fonction doit faire correspondre une image unique à chaque antécédent.

Exemple

La fonction

$\left\{\begin{array}{ll}y=0 & \text{si } x\lt0 \\ y=1 & \text{si } x \geq 0\end{array}\right.$

est une fonction, mais elle n'est pas de la forme $y=\ldots$ .

Domaine de définition Il se peut que nous ne pouvons pas entrer toutes les valeurs comme antécédent dans une fonction.

Par exemple, la fonction avec la formule $y=\tfrac{x}{x+3}$ n'a pas d'image pour $x=-3$ .

Les antécédents de cette fonction sont tous les nombres sauf $-3$ . Ceci est appelé le domaine de définition de la fonction. Nous allons voir ceci en détail dans la suite.

Ensemble image Il se peut que les images d'une fonction sont limitées.

Par exemple, la fonction avec la formule $y=x^2$ . Ici les images sont toujours positives (car un nombre élevé au carré est toujours positif).

Les images de cette fonction sont tous les nombres positifs. Ceci est appelé l'ensemble image d'une fonction. Nous allons voir ceci en détail dans la suite.

Considérez la formule suivante:

$y=-4\cdot x^2-3\cdot x-9$
Calculez l'image de $-1$ ?

L'image est $-10$

Pour calculer l'image, nous substituons l'antécédent $x=-1$ dans la formule.
Nous obtenons alors

$y=\left(-4\right)\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)-9=-10$
L'image est donc $-10$ .

Nouveau exemple