Functies: Wortelfuncties
Substitutie bij wortelvergelijkingen
Net als polynomen zijn er wortelvergelijkingen die we kunnen oplossen door de technieken voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen te gebruiken.
Wortelvergelijkingen oplossen door substitutie
Stappenplan We lossen een wortelvergelijking in #x# op door middel van substitutie. |
Voorbeeld #x^3-5 x \sqrt{x}+6=0# |
|
Stap 1 |
Schrijf de vergelijking als #a\blue x^{\blue n \cdot 2}+b\blue x^{\blue n}+c=0#, waarbij #a#, #b# en #c# getallen zijn en #\blue n# een breuk. |
#\blue{x}^{\blue{\frac{3}{2}} \cdot 2}-5\blue x^{\blue{\frac{3}{2}}}+6=0# |
Stap 2 | Substitueer #\blue{x^n}=\green u#. |
#\green u^2-5u+6=0# |
Stap 3 | Los de ontstane vergelijking in #u# op. |
#\green u=3 \lor \green u=2# |
Stap 4 | Substitueer #\green u=\blue{x^n}# in de oplossingen terug. |
#\blue{x^{\frac{3}{2}}}=3 \lor \blue{x^{\frac{3}{2}}}=2# |
Stap 5 | Los de ontstane vergelijkingen op. |
#x=\sqrt[3]{9} \lor x=\sqrt[3]{4}# |
Stap 6 | Controleer de oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking. |
#(\sqrt[3]{9})^3-5 \cdot \sqrt[3]{9} \sqrt{\sqrt[3]{9}}+6=0# #(\sqrt[3]{4})^3-5 \cdot \sqrt[3]{4} \sqrt{\sqrt[3]{4}}+6=0# Dus de oplossing van de vergelijking is #x=\sqrt[3]{9} \lor x=\sqrt[3]{4}#. |
Los de vergelijking #x-8\cdot \sqrt{x}+15=0# op voor #x# met behulp van het substitutie.
Geef je antwoord in de vorm #x=x_1\vee x=x_2# als er twee oplossingen zijn, in de vorm #x=x_1# als er één oplossing is, of schrijf #geen# als er geen oplossingen zijn.
Geef je antwoord in de vorm #x=x_1\vee x=x_2# als er twee oplossingen zijn, in de vorm #x=x_1# als er één oplossing is, of schrijf #geen# als er geen oplossingen zijn.
#x=25\lor x=9#
Stap 1 | We schrijven de vergelijking als: \[x^{\frac{1}{2} \cdot 2}-8x^{\frac{1}{2}}+15\] |
Stap 2 | Nu substitueren we #x^{\frac{1}{2}}=u#. Dat geeft: \[u^2-8\cdot u+15=0\] |
Stap 3 | We lossen de ontstane vergelijking op met ontbinden in factoren. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}u^2-8\cdot u+15 &=& 0\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ \left(u-5\right)\left(u-3\right)&=&0\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ontbonden in factoren}}\\ u-5=0&\lor&u-3=0\\&&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0}\\ u=5&\lor& u=3\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante termen naar rechts}} \end{array}\] |
Stap 4 | Nu substitueren we #u=x^{\frac{1}{2}}# terug in de oplossingen. Dat geeft: \[x^{\frac{1}{2}}=5 \lor x^{\frac{1}{2}}=3\] |
Stap 5 | Om deze vergelijkingen op te lossen, substitueren we beide kanten tot de macht #2#. Dat geeft als mogelijke oplossingen: \[x=5^{2} \lor x=3^{2}\] Dit kan vereenvoudigd worden tot \[x=25 \lor x=9\] |
Stap 6 | Nu controleren we beide oplossingen. Allereerst #x=25#, dat geeft: \[25-8\cdot \sqrt{25}+15=0\] Vervolgens #x=9#, dat geeft: \[9-8\cdot \sqrt{9}+15=0\] Dus beide oplossingen voldoen en de oplossing van de vergelijking is: \[x=25\lor x=9\] |
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.