Transformations des fonctions puissances à exposants négatifs

Fonctions: Fonctions rationnelles

Transformations des fonctions puissances à exposants négatifs

Nous avons étudié le graphe d'une fonction irrationnelle #f(x)=\tfrac{1}{x^n}# où #n \gt 0# et #n# est un entier. Tout comme les fonctions puissances de la forme #y=x^n# où #n \gt 0# et #n# est un entier, nous pouvons transformer les fonctions irrationnelles.

Transformations Nous pouvons transformer la fonction #f(x)=\frac{1}{x^n}# de trois manières différentes.

	Transformations	Exemples
1	Nous déplaçons le graphe de #f(x)=\tfrac{1}{x^n}# de #\green q# unités vers le haut. La nouvelle fonction est \[f(x)=\frac{1}{x^n}+\green q\] Comme le graphe de la nouvelle fonction est déplacé de #\green q# unités vers le haut, l'ensemble image devient égal à #\ivoo{\green q}{\infty}# pour #n# pair. Si #n# est impair, l'ensemble image correspond à l'ensemble de tous les nombres différents de #\green q#. Le domaine reste le même. Ainsi, l'asymptote horizontale est égale à #y=\green q# et l'asymptote verticale est égale à #x=0#.	déplacer #f(x)=\frac{1}{x^4}# de #\green3# unités vers le haut donne #f(x)=\frac{1}{x^4}+\green3#
2	Nous déplaçons le graphe de #f(x)=\tfrac{1}{x^n}# de #\blue p# unités vers la droite. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\frac{1}{\left(x-\blue p\right)^n}\] Comme le graphe de la nouvelle fonction est déplacé de #\blue p# unités vers la droite, le domaine correspond à l'ensemble de tous les nombres différents de #x=\blue p#. L'ensemble image reste le même. Ainsi, l'asymptote horizontale est égale à #y=0# et l'asymptote verticale est égale à #x=\blue p#.	déplacer #f(x)=\frac{1}{x^3}# de #\blue2# unités vers la droite donne #f(x)=\frac{1}{\left(x-\blue2\right)^3}#
3	Nous étirons le graphe de #f(x)=\tfrac{1}{x^n}# en multipliant l'expression par #\purple a#. La nouvelle fonction devient \[f(x)=\frac{\purple a}{x^n}\] En multipliant par un nombre positif, le domaine, l'ensemble image et les asymptotes restent inchangés. En multipliant par un nombre négatif, le graphe est inversé. Si #n# est impair, alors le domaine, l'ensemble image et les asymptotes restent les mêmes. Si #n# est pair, alors l'ensemble image est également inversé et est #\ivoo{-\infty}{0}#. Le domaine et les asymptotes restent les mêmes.	multiplication de #f(x)=\frac{1}{x^5}# par #\purple4# donne #f(x)=\frac{\purple4}{x^5}#

Plusieurs transformations Nous pouvons également appliquer plusieurs transformations.

Par exemple: Pour #f(x)=\frac{\purple3 }{\left(x-\blue4\right)^4}# nous déplaçons d'abord le graphe de #\blue4# unités vers la droite et ensuite nous étirons le graphe obtenu en multipliant les ordonnées des points par #\purple3#.

Symétrie En déplaçant le graphe de #\blue p# unités vers la droite, nous avons pu constater un déplacement de l'asymptote verticale. En particulier, l'axe de symétrie d'une fonction paire est déplacé de #x=\blue p# unités vers la droite.

Une fonction puissance à exposant négatif pair #n# admet un centre de symétrie pour #\rv{0,0}#. En déplaçant le graphe de #\green q# unités vers le haut, le centre de symétrie est également déplacé de #\green q# unités vers le haut. De la même manière, en déplaçant le graphe de #\blue p# unités vers la droite, le centre de symétrie est également déplacé de #\blue p# unités vers la droite au point #\rv{\blue p, 0}#.

Considérez les deux graphes ci-dessous.

Le graphe bleu correspond à l'équation:
\[y=-{{4}\over{x^4}}\]
Quelle est l'équation du graphe vert?

#y=# #-{{4}\over{x^4}}-1#

Le point #\rv{1,-4}# appartient au graphe bleu, nous allons étudier où le point correspondant se trouve sur le graphe vert. Sur le graphe vert, ce point correspond à #\rv{1,-5}#.
Ainsi, le graphe vert est obtenu en déplaçant le graphe bleu de #1# unités vers le bas.
Nous soustrayons #1# à l'expression #y=-{{4}\over{x^4}}# du graphe bleu . Cela nous donne l'équation suivante du graphe vert:
\[y=-{{4}\over{x^4}}-1\]

Nouveau exemple