Staartdelen met polynomen

Functies: Gebroken functies

Staartdelen met polynomen

Quotiëntfuncties waarvan de graad van de teller groter of gelijk is aan de graad van de noemer kunnen we schrijven als de som van een quotiënt en de rest. De quotiënt is een polynoom en de rest is weer een quotiëntfunctie.

Elke functie van de vorm

\[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\]

waarbij #\blue p# en #\orange q# polynomen zijn en #\text{graad }\blue{p(x)} \geq \text{graad } \orange{q(x)}#,
is met behulp van staartdeling te schrijven in de vorm \[f(x) = \green{s(x)}+\frac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\]

waarbij #\green s# een polynoom is en #\text{graad }\purple{r(x)} < \text{graad }\orange{q(x)}#.

Voorbeeld

\[ f(x) = \frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \]

geeft

\[f(x) = \green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}}\]

Rest is nul

Als de rest #\purple{r(x)}# nul is, is de quotiëntfunctie #f(x)# vereenvoudigd tot de polyoom #\green{s(x)}#. Maar let op, het domein van #f(x)# bevat alle #x# waarvoor #\orange{q(x)} \neq 0#, waar het domein van #\green{s(x)}# uit alle getallen bestaat. We mogen dus alleen zeggen dat #f(x) = \green{s(x)}# als we de restrictie toevoegen dat #x# niet gelijk is aan de nulpunten van #\orange{q(x)}#.

We gebruiken het volgende stappenplan voor delen van polynomen met behulp van staartdeling.

Staartdeling

	Stappenplan	Voorbeeld
	We gebruiken staartdeling bij de quotientfunctie \[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\]	\[f(x)=\frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}}\]
Stap 1	Stel de staartdeling als volgt op: #\require{enclose} \begin{array}{l} \orange{q(x)} \enclose{longdiv}{\blue{p(x)}} \end{array}#	\[ \require{enclose} \begin{array}{l} \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \end{array}\]
Stap 2	Vind nu een #\green{\text{expressie}}# zodanig dat als deze vermenigvuldigd wordt met #\orange{q(x)}# de term met de hoogste graad gelijk is aan de de term met de hoogste graad van #\blue{p(x)}#. In het voorbeeld rechts kozen we #\green{2x}# aangezien #\green{2x} \cdot (\orange{x+1})# gelijk is aan #2x^2+2x#. We zetten deze term #\green{2x}# boven de streep in de staartdeling. Trek nu de gevonden expressie af van #\blue{p(x)}# zodat je een expressie #\purple{r(x)}# krijgt. In het voorbeeld vinden we #\purple{3x+5}#. Herhaal dit proces totdat #\text{graad }\purple{r(x)} < \text{graad }\orange{q(x)}#.	# \require{enclose} \begin{array}{l} \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \green{2x+3} \\ \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \\ \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \underline{2x^2+2x} \;\underline{\;} \\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} {\purple{3x+5}}\\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} \underline{3x+3}\;\underline{\;}\\ \phantom{x+1\hspace{4.1em}2x^2}\purple{2} \end{array}#
Stap 3	Nu volgt dat \[ \begin{array}{rcl} f(x) &=& \dfrac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}} \\ &=&\green{s(x)}+\dfrac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\end{array} \]	\[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \\ &=&\green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}} \end{array}\]

Schrijf de functie

\[f(x)=\frac{7x+2}{7x+1}\]

met behulp van staartdeling in de vorm

\[f(x)=s+\frac{r}{ax+b}\]

waarbij #a, b,r# en #s# constanten zijn.

#f(x) = \;##{1} + \dfrac{{1}}{{7x+1}}#

Stap 1

We stellen eerst de staartdeling op: \[\require{enclose}
\begin{array}{l}
{7x+1} \enclose{longdiv}{{7x+2}}
\end{array}\]

Stap 2

Staartdeling geeft

\[ \require{enclose}
\begin{array}{l}
\phantom{7x+1\hspace{0.5em}} {1} \\
{7x+1} \enclose{longdiv}{{7x+2\phantom{\;}}} \\
\phantom{7x+1\hspace{0.5em}} \underline{7 x+1} \;\underline{\phantom{\;}} \\
\phantom{7x+1\hspace{0.5em}ax\;\;\;\;}{1}
\end{array}\]

Stap 3

Nu volgt volgens de theorie dat

\[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{{7x+2}}{{7x+1}} \\
&=&{1} + \dfrac{{1}}{{7x+1}}
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld