Équations avec des polynômes

Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2

Équations avec des polynômes

Des équations avec des polynômes de degré supérieur à 2 ne sont pas toujours résoluble à la main. Mais ici, nous allons considérer certaines situations dans lesquelles il est possible.

$\blue A \cdot \green B=0$

donne

$\blue A=0 \lor \green B=0$

Exemple

$\begin{array}{c}\blue{x^2}\left(\green{x^2-2}\right)=0 \\ \\ \blue{x^2}=0 \lor \green{x^2-2}=0 \end{array}$

$\blue{A}^2=\green{B}^2$

donne

$\blue{A}=\green{B} \lor \blue{A}=-\green{B}$

Exemple

$\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4x}\right)^2=\green{x}^2 \\ \\ \blue{x^2-4x}=\green{x} \lor \blue{x^2-4x}=-\green{x} \end{array}$

Nous pouvons démontrer cette règle à l'aide de la réduction, la factorisation et la règle $A \cdot B=0$ si et seulement si $A=0 \lor B=0$ . Cela se fait de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl}A^2&=&B^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ A^2-B^2&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }B^2} \\ \left(A-B\right)\left(A+B\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}} \\ A-B=0 &\lor& A+B=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=B &\lor& A=-B \\ &&\phantom{xxx}\blue{B \text{ mis dans le membre de droite}} \end{array}$

$\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C}$

donne

$\blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}$

Exemple

$\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\left(\purple{6x-8}\right) \\\\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = \purple{6x-8}\end{array}$

Nous pouvons démontrer cette règle à l'aide de la réduction, la factorisation et la règle $A \cdot B=0$ si et seulement si $A=0 \lor B=0$ . Cela se fait de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl}A \cdot B&=&A \cdot C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ A \cdot B - A \cdot C&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }A \cdot C} \\ A\cdot \left(B-C\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}} \\ A=0 &\lor& B-C=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=0 &\lor& B=C\\ &&\phantom{xxx}\blue{C \text{ mis dans le membre de droite}} \end{array}$

$\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A}$

donne

$\blue{A}=0 \lor \green{B}=1$

Exemple

$\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\ \\ \\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = 1\end{array}$

Cela peut être démontré facilement en choisissant $\purple{C}=1$ dans la règle précédente

$\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C} \Leftrightarrow \blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}$

Résolvez l'équation

$\left(x^3-9\right)\left(8-x^2\right)=0$
Donnez votre réponse sous la forme $x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n$ , où $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ sont des nombres exacts (pas de valeurs décimales) et $n$ le nombre de solutions.

$x=9^{{{1}\over{3}}} \lor x=-2^{{{3}\over{2}}} \lor x=2^{{{3}\over{2}}}$

$\begin{array}{rcl} \left(x^3-9\right)\left(8-x^2\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ x^3-9=0 &\lor& 8-x^2=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A \cdot B =0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ x^3=9 &\lor& -x^2=-8 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}} \\ x^3=9 &\lor& x^2=8 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par le coefficient de }x} \\ x=9^{{{1}\over{3}}} &\lor& x=-2^{{{3}\over{2}}} \lor x=2^{{{3}\over{2}}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}} \\ \end{array}$

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