Vergelijkingen met polynomen

Functies: Hogeregraadsfuncties

Vergelijkingen met polynomen

Vergelijkingen met hogeregraadspolynomen kunnen niet altijd handmatig opgelost worden. We zullen nu naar een aantal situaties kijken waarin dat wel eenvoudig kan.

\[\blue A \cdot \green B=0\]

geeft

\[\blue A=0 \lor \green B=0\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{c}\blue{x^2}\left(\green{x^2-2}\right)=0 \\ \\ \blue{x^2}=0 \lor \green{x^2-2}=0 \end{array}\]

\[\blue{A}^2=\green{B}^2\]

geeft

\[\blue{A}=\green{B} \lor \blue{A}=-\green{B}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4x}\right)^2=\green{x}^2 \\ \\ \blue{x^2-4x}=\green{x} \lor \blue{x^2-4x}=-\green{x} \end{array}\]

We kunnen deze regel bewijzen met behulp van herleiding, ontbinden in factoren en de regel #A \cdot B=0# dan en slechts dan als #A=0 \lor B=0#. Dat gaat als volgt:

\[\begin{array}{rcl}A^2&=&B^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ A^2-B^2&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten min }B^2} \\ \left(A-B\right)\left(A+B\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ontbonden in factoren}} \\ A-B=0 &\lor& A+B=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=B &\lor& A=-B \\ &&\phantom{xxx}\blue{B \text{ naar de andere kant gehaald}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C}\]

geeft

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\left(\purple{6x-8}\right) \\\\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = \purple{6x-8}\end{array}\]

We kunnen deze regel bewijzen met behulp van herleiding, ontbinden in factoren en de regel #A \cdot B=0# dan en slechts dan als #A=0 \lor B=0#. Dat gaat als volgt:

\[\begin{array}{rcl}A \cdot B&=&A \cdot C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ A \cdot B - A \cdot C&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten min }A \cdot C} \\ A\cdot \left(B-C\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ontbonden in factoren}} \\ A=0 &\lor& B-C=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\ A=0 &\lor& B=C\\ &&\phantom{xxx}\blue{C \text{ naar de andere kant gehaald}} \end{array}\]

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \]

geeft

\[\blue{A}=0 \lor \green{B}=1\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{c}\left(\blue{x^2-4}\right)\cdot\green{x^2}=\left(\blue{x^2-4}\right)\ \\ \\ \blue{x^2-4}=0 \lor \green{x^2} = 1\end{array}\]

Dit is eenvoudig te bewijzen door in de voorgaande regel

\[\blue{A} \cdot \green{B} = \blue{A} \cdot \purple{C} \Leftrightarrow \blue{A}=0 \lor \green{B}=\purple{C}\]

#\purple{C}=1# te kiezen.

Los #x# op in
\[\left(x-5\right)\left(2-5\cdot x^2\right)=0\]
Geef je antwoord in de vorm #x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, waarbij #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# exacte getallen zijn en #n# het aantal oplossingen is.

# x=5 \lor x=-{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{5}}} \lor x={{\sqrt{2}}\over{\sqrt{5}}} #

#\begin{array}{rcl}
\left(x-5\right)\left(2-5\cdot x^2\right)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\
x-5=0 &\lor& 2-5\cdot x^2=0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{A \cdot B =0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0} \\
x=5 &\lor& -5\cdot x^2=-2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constanten naar rechts gehaald}} \\
x=5 &\lor& x^2={{2}\over{5}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door coëfficiënt voor te‍rm met }x} \\
x=5 &\lor& x=-{{\sqrt{2}}\over{\sqrt{5}}} \lor x={{\sqrt{2}}\over{\sqrt{5}}}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{wortel getrokken}} \\
\end{array}#

Nieuw voorbeeld