Fonctions puissances à exposants négatifs

Fonctions: Fonctions rationnelles

Fonctions puissances à exposants négatifs

Fonction puissance à exposant négatif

Une fonction puissance à exposant entier négatif est de la forme

$f(x)=\blue{a}x^{-\orange{n}}$

où $\orange{n}$ est un nombre entier positif.

Nous pouvons également écrire cette fonction

$f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$

Le graphe d'une fonction puissance à exposant entier négatif passe par le point $\rv{1,\blue{a}}$ , a une asymptote verticale en $x=0$ et une asymptote horizontale en $y=0$ .

Si $\orange{n}$ est pair, alors le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ . Si $\orange{n}$ est impair, alors le graphe admet le point $\rv{0,0}$ comme centre de symétrie.

GeoGebra powerfunction négatif

Une fonction puissance à exposant négatif a une asymptote verticale en $x=0$ . Il est ainsi, parce que nous ne sommes pas autorisés à diviser par $0$ , donc $f(0)$ n'existe pas. Le domaine d'une fonction puissance à exposant négatif correspond à l'ensemble de tous les nombres à l'exception de $x=0$ .

L'ensemble image d'une fonction puissance à exposant négatif pair est égal à l'ensemble des nombres positifs si $\blue a \gt 0$ et à l'ensemble des nombres négatifs si $\blue a \lt 0$ .

Pour une fonction puissance à exposant négatif impair, l'ensemble image correspond à l'ensemble de tous les nombres à l'exception de $x=0$ .

Fonction paire et impaire

Si $\orange{n}$ est pair, alors nous appelons $f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$ une fonction paire. Cela signifie que:

$f(-x)=f(x)$

Ceci est une autre manière d'exprimer que le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ .

Si $\orange{n}$ est impair, alors nous appelons $g(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$ une fonction impaire. Cela signifie que:

$g(-x)=-g(x)$

Ceci est une autre manière d'exprimer que le graphe est symétrique par rapport au point $\rv{0,0}$ .

Exemple

Pour $f(x)=\frac{\blue{1}}{x^{\orange{4}}}$ , nous avons:

$f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{4}}}=\frac{1}{16}=\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{4}}}=f(2)$

Pour $g(x)=\frac{\blue1}{x^{\orange{3}}}$ , nous avons:

$f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{3}}}=\frac{1}{8}=-\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{3}}}=-f(2)$

Considérez le graphe d'une fonction puissance à exposant négatif, qui est une fonction de la forme $f(x)=\frac{a}{x^n}$ .

Que savons-nous dire des valeurs de $n$ et $a$ ?

La valeur de $n$ est: paire
La valeur de $a$ est: positive

Le graphe est symétrique par rapport à l'axe des $y$ , donc la valeur de $n$ est paire.
L'ordonnée $y$ est positive si l'abscisse $x$ est positive, donc la valeur de $a$ est positive.

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