Solution d'une équation linéaire à deux inconnues

Systèmes d'équations: Équation cartésienne d'une droite

Solution d'une équation linéaire à deux inconnues

Nous venons juste de voir qu'une solution d'une équation linéaire à deux inconnues de la forme $\blue p \cdot x + \green q\cdot y +\purple r=0$ est un point $\rv{x,y}$ . En général, il existe de multiples solutions d'une équation linéaire, nous allons maintenant voir à quoi ces solutions ressemblent. Pour cela, nous utiliserons les mêmes règles de résolution que pour une équation linéaire à une inconnue.

Nous résolvons l'équation $\blue 3 \cdot x + \green 5 \cdot y +\purple 5=0$ de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl}3 \cdot x + 5 \cdot y +5&=&0\\&& \blue{\small\text{équation donnée}}\\ 5 \cdot y+5&=&-3 \cdot x\\ && \blue{\small\text{soustraction de }3 \cdot x}\\5\cdot y &=& -3 \cdot x -5 \\ && \blue{\small\text{soustraction de }5}\\ y &=& -\frac{3}{5}x-1\\ && \blue{\small\text{division par }5}\end{array}$

Tous les points appartenant à la droite ${y}=-\tfrac{3}{5} {x}-1$ sont des solutions de l'équation.

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Nous résolvons l'équation $\green 5 \cdot {y}+\purple 5=0$ de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl} 5y + 5 &=& 0 \\ &&\blue{\small\text{équation donnée}} \\ 5y &=& -5 \\ &&\blue{\small \text{soustraction de $5$ à gauche et à droite}} \\ y &=& -1 \\ &&\blue{\small \text{division à gauche et à droite par $5$}} \\ \end{array}$

Tous les points appartenant à la droite horizontale ${y}=-1$ sont des solutions de l'équation.

GeoGebra plaatje

Nous résolvons l'équation $\green 3 \cdot {x}+\purple 5=0$ de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl} 3x + 5 &=& 0 \\ &&\blue{\small\text{équation donnée}} \\ 3x &=& -5 \\ &&\blue{\small \text{soustraction de $5$ à gauche et à droite}} \\ x &=& -\frac{5}{3} \\ &&\blue{\small \text{division à gauche et à droite par $3$}} \\ \end{array}$

Tous les points appartenant à la droite verticale ${x}=-\tfrac53$ sont des solutions de l'équation.

GeoGebra plaatje

Donnez les solutions de $5\cdot x+4\cdot y-9=0$ .
Donnez votre réponse sous la forme $y=a \cdot x +b$ ou $x=b$ avec les valeurs exactes pour $a$ et $b$ .

$y=-{{5\cdot x}\over{4}}+{{9}\over{4}}$

L'équation contient deux variables $x$ et $y$ . Ainsi, la solution est une droite oblique de la forme $y=a \cdot x +b$ . Nous trouvons la solution de la manière suivante:

$\begin{array}{rcl} 5\cdot x+4\cdot y-9&=&0\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\ 5\cdot x+4\cdot y&=&9 \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{addition de }9\text{ à gauche et à droite}}\\ 4\cdot y&=&-5\cdot x+9 \\&& \phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }5\cdot x\text{ à gauche et à droite }}\\ y&=&\displaystyle -{{5\cdot x}\over{4}}+{{9}\over{4}}\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{division à gauche et à droite par le coefficient de }y} \end{array}$
Ainsi, la solution de $5\cdot x+4\cdot y=9$ est la droite oblique $y=-{{5\cdot x}\over{4}}+{{9}\over{4}}$ .

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