Résolution d'un système par substitution

La solution d'un système correspond au point d'intersection des droites qui représentent les deux équations linéaires.

Graphique

GeoGebra plaatje

Méthode de substitution

	Procédure	Exemple
	Lors de la résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues en utilisant la méthode de substitution, nous appliquons la procédure suivante.	Résolvez le système suivant: #\left\{\begin{array}{rcl}2 x +4 y+5&=& 0 \\ -3 x +2 y -4&=& 0 \end{array} \right.#
Étape 1	Dans la première équation, exprimez #x# en fonction de #y#. En d' autres termes, écrivez la première équation sous la forme #x=\ldots#.	#\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 x +2 y -4=0 \end{array} \right.#
Étape 2	Substituez l'expression obtenue pour #x# dans la deuxième équation telle que la deuxième équation contient uniquement l'inconnue #y#.	#\left\{\begin{array}{c}x=-2 y-\frac{5}{2} \\-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4=0 \end{array} \right.#
Étape 3	Résolvez l'équation de l'étape 2 pour #y#.	#\begin{array}{rcl}-3 \cdot \left(-2 y - \frac{5}{2}\right) +2 y -4&=&0 \\6 y+\frac{15}{2} +2 y -4&=&0 \\8 y + \frac{7}{2}&=&0 \\8 y &=&-\frac{7}{2}\\y &=&-\frac{7}{16} \end{array}#
Étape 4	Déterminez #x# en utilisant la première équation de l'étape 1 et en substituant la valeur de #y# trouvée à l'étape 3.	#\begin{array}{rcl} x&=&-2 y-\frac{5}{2} \\ x&=&-2 \cdot- \frac{7}{16}-\frac{5}{2} \\ x&=&-\frac{13}{8}\end{array}#
Étape 5	Donnez la réponse sous la forme \[\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }\]	#\left\{\begin{array}{rcl}x &=&-\frac{13}{8} \\ y &=&-\frac{7}{16} \end{array}\right.#

Résolvez le système d'équations suivant.
\[\lineqs{x-7\cdot y&=&-7\cr
x+2\cdot y&=&6\cr }\]

#\lineqs{x&=&{{28}\over{9}}\cr y&=&{{13}\over{9}}\cr }#

Étape 1	Nous réduisons la première équation à la forme #x=\ldots#. Nous obtenons: \[\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr x+2\cdot y&=&6\cr }\]
Étape 2	Nous remplaçons la première équation dans la deuxième. Nous obtenons: \[\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr 7\cdot y-7+2\cdot y&=&6\cr }\]
Étape 3	Nous résolvons la deuxième équation d'inconnue #y# de la manière suivante: \[\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr 7\cdot y-7+2\cdot y&=&6\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{système à résoudre}} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr 9\cdot y-7&=&6\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr 9\cdot y&=&13\cr }& \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }-7} \\ &\lineqs{x&=&7\cdot y-7\cr y&=&{{13}\over{9}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }9} \end{array}\] Donc la valeur #y# de la solution est #y={{13}\over{9}}#.
Étape 4	Nous déterminons maintenant la valeur de #x# en substituant #y={{13}\over{9}}# dans la première équation. \[\begin{array}{rcl}&\lineqs{x&=&7\cdot {{13}\over{9}}-7\cr y&=&{{13}\over{9}}\cr }& \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }y={{13}\over{9}} \text{ dans la première équation }} \\ &\lineqs{x&=&{{28}\over{9}}\cr y&=&{{13}\over{9}}\cr}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}} \\ \end{array}\]

Finalement, la solution du système est: \[\lineqs{x&=&{{28}\over{9}}\cr y&=&{{13}\over{9}}\cr }\]