Getallen: Machten en wortels
Negatieve exponenten
Tot nu toe hebben we alleen niet-negatieve gehele getallen als exponent in een macht genomen. We kunnen ook negatieve gehele getallen als exponent nemen.
Negatieve exponenten
Hieronder zien we dat als we de exponent met één verhogen, we de uitkomst met #\blue2# vermenigvuldigen. Andersom geldt dat als we de exponent met één verlagen, we door #\blue2# delen.
\begin{array}{rcl}\blue2^\orange0&=&1\\\blue2^\orange1&=&2\\\blue2^\orange2&=&4\\\blue2^\orange3&=&8\\\blue2^\orange4&=&16\\\blue2^\orange5&=&32\end{array}
Op deze manier kunnen we ook negatieve exponenten definiëren door elke keer als we de exponent met één verlagen, door #\blue2# te delen.
\begin{array}{lcl}\blue2^{\orange0}&=&1\\\blue2^\orange{-1}&=&\frac{1}{2}\\\blue2^\orange{-2}&=&\frac{1}{4}\\\blue2^\orange{-3}&=&\frac{1}{8}\\\blue2^\orange{-4}&=&\frac{1}{16}\\\blue2^\orange{-5}&=&\frac{1}{32}\end{array}
We zien nu dat #\blue2^{-\orange5}=\frac{1}{\blue2^\orange5}#. Dit blijkt in het algemeen ook te gelden. We kunnen zeggen:
Een #\blue{\textit{grondtal}}# tot een negatieve exponent is gelijk aan #1# gedeeld door het #\blue{\textit{grondtal}}# tot de bijbehorende positieve exponent.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\blue{4}^{-\orange{3}}&=&\frac{1}{\blue4^\orange3}\\&=&\frac{1}{64} \\ \\ \blue{9}^{-\orange{6}}&=&\frac{1}{\blue{9}^\orange6}\\&=&\frac{1}{531441} \\ \\ \left(\blue{-3}\right)^{-\orange{5}}&=&\frac{1}{\left(\blue{-3}\right)^\orange5}\\&=&-\frac{1}{243} \\ \\ \left(\blue{-5}\right)^{-\orange{4}}&=&\frac{1}{\left(\blue{-5}\right)^\orange4}\\&=&\frac{1}{625}\end{array}\]
De voorbeelden tot nu toe bevatten gehele getallen als grondtal, maar we kunnen ook een breuk als grondtal nemen.
Negatieve exponenten bij breuken
Wanneer we #\left(\tfrac{\blue2}{\green3}\right)^{-\orange{3}}# berekenen, krijgen we:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\left(\frac{\blue2}{\green3}\right)^{-\orange{3}}&=&\displaystyle\frac{1}{\left(\frac{\blue2}{\green3}\right)^\orange3} \\&=& \displaystyle \frac{1}{\frac{\blue2}{\green3} \cdot \frac{\blue2}{\green3} \cdot {\frac{\blue2}{\green3}}} \\ &=& \displaystyle \frac{1}{\frac{8}{27}}\\&=& \displaystyle\frac{27}{8} \\ &=& \displaystyle\left(\frac{\green3}{\blue2}\right)^\orange3 \end{array}\]
In het algemeen geldt dus:
Een breuk tot een negatieve exponent, is hetzelfde als het omgekeerde van de breuk tot de bijbehorende positieve exponent.
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\left(\frac{\blue3}{\green4}\right)^{-\orange4}&=&\left(\frac{\green4}{\blue3}\right)^\orange4\\&=&\frac{256}{81} \\ \\ \left(\frac{\blue5}{\green2}\right)^{-\orange2}&=&\left(\frac{\green2}{\blue5}\right)^\orange2\\&=&\frac{4}{25} \\ \\ \left(\frac{\blue4}{\green7}\right)^{-\orange3}&=&\left(\frac{\green7}{\blue4}\right)^\orange3\\&=&\frac{343}{64} \\ \\ \left(-\frac{\blue4}{\green3}\right)^{-\orange5}&=&\left(-\frac{\green3}{\blue4}\right)^\orange5\\&=&-\frac{243}{1024} \end{array}\]
#\begin{array}{rcl}
2^{-3} &=&\dfrac{1}{2^{3}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel: een grondtal tot een negatieve exponent is }} \\ &&\phantom{xxx}\blue{1 \text{ gedeeld door het grondtal tot de bijbehorende positieve exponent}}\\
&=& \displaystyle {{1}\over{8}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.