Standaardvorm van wortels

Getallen: Machten en wortels

Standaardvorm van wortels

We zagen eerder al een aantal rekenregels voor wortels en wortels van breuken. Door gebruik te maken van deze rekenregels kunnen we wortels vereenvoudigen.

Wanneer er in een uitdrukking een wortel voorkomt, staat de wortel in standaardvorm als deze voldoet aan de volgende regels:

We brengen een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken. Dit betekent dat we de kwadraten uit het getal onder het wortelteken halen. We houden hierbij in de gaten dat we maar één wortelteken in onze uitdrukking willen. Daarom hoef je #\sqrt{14}# dus niet te 'vereenvoudigen' naar #\sqrt{2}\cdot\sqrt{7}#. Wat we wel doen is het volgende.
\[\sqrt{12}=\sqrt{2^2 \cdot 3}=\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}\]
Er komen geen breuken in het wortelteken voor. We gebruiken hiervoor de rekenregel die zegt dat de wortel van een breuk gelijk is aan de breuk van de wortels. \[\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]
Er komen geen wortels voor in de noemer van de breuk. Dit bereiken we door de teller en de noemer van de breuk allebei te vermenigvuldigen met de wortel uit de noemer.
\[\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
De rationale getallen in de uitdrukking zijn vereenvoudigde breuken. \[\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\]

Voorbeelden

\[\begin{array}{rcl}\sqrt{56}&=&\sqrt{2^2 \cdot 14} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{14} \\ &=& 2 \sqrt{14} \\ \\\sqrt{108}&=&\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} \\&=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{3} \\ &=& 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \\ &=& 6 \sqrt{3} \\ \\ \dfrac{2}{\sqrt{5}}&=& \dfrac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\\ &=& \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \\ \dfrac{3}{\sqrt{63}}&=&\dfrac{3}{\sqrt{3^2\cdot7}}\\&=& \dfrac{3}{3\cdot\sqrt{7}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{7}}\\&=& \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}\\&=&\dfrac{\sqrt{7}}{7}\end{array}\]

In de praktijk

In de praktijk pakken we regel #1# aan door te kijken of het getal onder het wortelteken deelbaar is door een kwadraat ( #4#, #9#, #16#, #25,\ldots# ). We kijken eerst of het deelbaar is door #4#. Als dit het geval is, halen we #4# uit de wortel, en herhalen we het proces met het nieuwe getal onder het wortelteken. Als dit niet het geval is, kijken we of het getal onder het wortelteken deelbaar is door #9#, enzovoort.

We kunnen het getal onder het wortelteken ook in zijn priemontbinding schrijven, en kijken of er priemfactoren zijn die meerdere keren voorkomen.

Twee notaties De uitdrukkingen #\frac{2}{3}\sqrt{5}# en #\frac{2\sqrt{5}}{3}# zijn beide standaardvormen van hetzelfde getal.

Schrijf \(\sqrt{150}\) in standaardvorm.

#\sqrt{150}=# #5\sqrt{6}#

#\begin{array}{rcl}
\sqrt{150}&=&\sqrt{25\times 6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{150 \text{ geschreven als product onder de wortel}} \\
&=& \sqrt{{5}^2\times 6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{25 \text{ geschreven als kwadraat}} \\
&=& \sqrt{{5}^2} \times \sqrt{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel: wortel van een product is product van wortels}} \\
&=&5\sqrt{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{wortel van een kwadraat is de absolute waarde van het getal}} \end{array}#

Nieuw voorbeeld