Hoeken van lijnen

Meetkunde: Lijnen

Hoeken van lijnen

We hebben gezien dat de helling van een lijn bepaald wordt door de richtingscoëfficiënt van een lijn. Deze richtingscoëfficiënt kunnen we gebruiken voor het bepalen van de hoek die de lijn met de $x$ -as maakt.

Richtingshoek

De richtingshoek of hellingshoek van een lijn $k$ is de scherpe of rechte hoek die lijn $k$ met de $x$ -as maakt.

Een stijgende lijn heeft een positieve richtingshoek en een dalende lijn een negatieve.
Daarom geldt voor richtingshoek $\blue{\alpha}$ in radialen dat $-\frac{\pi}{2} \lt \blue{\alpha} \leq \frac{\pi}{2}$ Voor de richtingshoek $\blue{\alpha}$ geldt:

$\tan(\blue{\alpha})=\text{richtingscoëfficiënt}$

Graden

In graden ligt de richtingshoek van een lijn tussen de $-90^\circ$ en $90^\circ$ .

Deze kan op dezelfde manier berekend worden als de hoek in radialen. Meestal wordt hier een rekenmachine voor gebruikt met een $\arctan$ knop.

Gebruikmakend van de richtingshoek van een lijn kunnen we nu ook de hoek tussen twee snijdende lijnen berekenen.

Hoek tussen twee lijnen

	Stappenplan	Voorbeeld
	We berekenen de hoek tussen een lijn $\blue l$ en een lijn $\green k$ .	$\blue l: y=\sqrt{3}x+1$ $\green k: \sqrt{3}x+3y=2$
Stap 1	Bereken de richtingscoëfficiënt van lijn $\blue l$ en lijn $\green k$ .	${rc}_{\blue l}=\sqrt{3}$ ${rc}_{\green{k}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Stap 2	Bereken de richtingshoek $\alpha$ van beide lijnen.	$\alpha_{\blue{l}}=\frac{\pi}{3}$ $\alpha_{\green{k}}=-\frac{\pi}{6}$
Stap 3	Bereken de hoek tussen de lijnen $\blue l$ en $\green k$ . Als $\alpha_{\blue l} \gt \alpha_{\green{k}}$ , dan: $\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k}$ als $\alpha_{\blue {l}}- \alpha_{\green k} \leq \frac{\pi}{2}$ $\pi-(\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k} )$ als $\alpha_{\blue l}- \alpha_{\green k} \gt \frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}--\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$

Grafisch

In de figuur zien we grafisch de situatie van het voorbeeld.

Stap 3 andersom

Wanneer $\alpha_{\blue l} \lt \alpha_{\green k}$ kunnen we rollen van lijn $\blue l$ en $\green k$ omdraaien. Vervolgens kunnen we dezelfde berekening uitvoeren.

Twee hoeken

Twee snijdende lijnen maken maken altijd vier hoeken met elkaar. Deze hoeken komen in overstaande paren en in deze paren zijn de hoeken dus gelijk. In het algemeen zijn er dus twee verschillende hoeken. Wanneer we het over de hoek tussen twee lijnen hebben kiezen we de kleinste van deze twee. Vandaar dat we in stap $3$ het getalsonderscheid maken.

Bepaal de richtingshoek $\alpha$ van lijn $y=-{{x}\over{\sqrt{3}}}-4$ .
Geef je antwoord exact in radialen.

$\alpha=$ $-{{\pi}\over{6}}$

De richtingscoëfficiënt van de lijn $y=-{{x}\over{\sqrt{3}}}-4$ is gelijk aan $-{{1}\over{\sqrt{3}}}$ .
Er geldt nu voor richtingshoek $\alpha$ dat $\tan(\alpha)=-{{1}\over{\sqrt{3}}}$ .
Dit betekent dat $\alpha=-{{\pi}\over{6}}$ .

Nieuw voorbeeld