Verschillende beschrijvingen van een cirkel

Meetkunde: Cirkels

Verschillende beschrijvingen van een cirkel

Een cirkel is een geometrische vorm in het vlak dat wordt bepaald door een punt $P$ , het middelpunt van de cirkel, en een straal $r$ . De cirkel bestaat uit alle punten met afstand $r$ van $P$ . Als we willen rekenen met cirkels is het handig om een vergelijking voor een cirkel hebben.

Een cirkel met middelpunt $\blue{P} =\blue{ \rv{a, b}}$ en radius $\green{r} > 0$ kan worden omgeschreven door de vergelijking

$(x - \blue {a} )^2 + (y-\blue{b})^2 = \green{r}^2$

Een dergelijke vergelijking wordt vaak de vergelijking van een cirkel genoemd.

Haakjes uitwerken

Het is belangrijk op te merken dat als we de haakjes uitwerken het niet meer de vergelijking van een cirkel is.

Het is niet onmiddellijk duidelijk uit een vergelijking of deze kan worden herschreven tot de vergelijking van een cirkel. Je kan dan proberen om het kwadraat af te splitsen.

Kwadraat afsplitsen

Een vergelijking van de vorm

$x^2 + dx + y^2 + ey + f = 0$

kan worden herschreven als

$(x - \blue{a})^2 + (y- \blue{b} )^2 = c$

Wanneer $c$ positief is, kan het worden herschreven tot een vergelijking van een cirkel met middelpunt $\blue{\rv{a, b}}$ en radius $\green{r} = \green{\sqrt{c}}$

$(x - \blue{a})^2 + (y-\blue{b})^2 = \green{r}^2$

Voorbeeld

De vergelijking

$x^2 + y^2 - 2y - 8x - 8 =0$

kan worden herschreven als

$(x - \blue{4})^2 -16 + (y -\blue{1})^2 -1 -8 =0$

Als we de constante termen naar rechts brengen, krijgen we de vergelijking

$(x - \blue{4})^2 + (y-\blue{1})^2 = \green{5}^2$

Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt $\blue{\rv{4, 1}}$ en radius $\green{\sqrt{25}} = \green{5}$

Kwadraat afsplitsen

We kunnen een vergelijking van de vorm $x^2 + ax$ als $(x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$ . Deze techniek heet kwadraat afsplitsen.

Voorbeeld

$x^2 - 8x = (x- 4)^2 -16$

$y^2 + 14y - 3 = (y+7)^2 - 49 - 3$

Schetsen van een cirkel

Uit de vergelijking van een cirkel kan men de cirkel met een potlood en passer schetsen. Teken eerst het middelpunt van de cirkel en traceer vervolgens een cirkel met het kompas met de juiste radius. Hieronder is een voorbeeld met middelpunt $\blue{P} = \blue{\rv{2, 1}}$ en radius $\green{r} = 1$ .

Een cirkel $c$ is gegeven door

$c: \left(x-6\right)^2+\left(y+9\right)^2=9$
Wat is het middelpunt $M$ en de straal $r$ van cirkel $c$ ?
Geef de coördinaten van $M$ als $\rv{a,b}$ met de juiste waarden voor $a$ en $b$ .

$M=$ $\rv{6, -9}$
$r=$ $3$

In een cirkelvergelijking van de vorm $(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$ is het middelpunt $M$ gelijk aan $\rv{a,b}$ en de straal aan $r$ .
Dat betekent dat in dit geval $M= \rv{6, -9}$ en de straal $r=3$ .

Nieuw voorbeeld