Tot nu toe zijn we nog niet in staat geweest om geometrische vormen anders dan een cirkel, driehoek of een lijn te beschrijven. Met de theorie van parametervergelijkingen kunnen we vormen van verschillende soorten beschrijven. We beperken ons nu tot parameterkrommen.
Een parameterkromme #\orange{C}# is een figuur in het vlak dat wordt beschreven door twee vergelijkingen
\[\orange C \colon \phantom{x}\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(t)}\\ \green{y}&=\green{y(t)} \end{cases}\]
waarbij #t# varieert gedurende een bepaald #\text{interval}#. Deze vergelijkingen heten parametervergelijkingen. De kromme #\orange{C}# omvat alle punten #\ivcc{\blue{x(t)}}{\green{y(t)})}# voor #t# in het interval.
Voorbeeld
De parametervergelijkingen \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\] met #t# in het interval #\ivcc{-4}{2}# definiëren een parameterkromme.
Voorbeeld
In de figuur zie je de kromme in het voorbeeld gedefinieerd door de vergelijkingen \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\]
op het interval #[-4,2]#.
Twee parameterkrommen met dezelfde parametervergelijkingen kunnen er heel anders uitzien als de intervallen verschillen. In het voorbeeld is de kromme #\orange{C}# gegeven door \[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t^2}\\\green{y(t)}&=&\green{2-t},\end{array}\] met #t# tussen #-4# en #2#.
Als we het interval veranderen naar #t# tussen #0# en #6#, krijgen we de volgende figuur:
We kunnen ook een parametervergelijking met meer variabelen en meer vergelijkingen definiëren. Bijvoorbeeld, de parametervergelijking gegeven door een geschaalde versie van \[\begin{array}{rcl}x(t)&=&\cos(2t)+t\\y(t)&=&t+t^2-4\\z(t)&=&\cos(2t) + \sin(3t) +0.2t,\end{array}\] waarbij #t# varieert over het interval #\ivcc{-10}{10}# definieert een kromme in de driedimensionale ruimte.
We zullen niet dit soort krommen niet verder bestuderen.
Baan
Zulke parameterkrommen kunnen worden gebruikt om de baan van een bepaald punt #\orange P# te beschrijven. Indien een dergelijke baan beschreven wordt door parametervergelijkingen \[\begin{cases}\blue x &= \blue{x(t)},\\ \green y & = \green{y(t)}. \end{cases}\] dan schrijven we vaak #\orange{P_{t}}# voor de 'locatie' van #\orange P# op tijdstip #t# - met andere woorden, \[\orange{P_{t_0}}=\ivcc{\blue{x(t_0)}}{\green{y(t_0)}}\]
waarbij #t_0# een getal op het interval is. In de figuur is een voorbeeld waarin \[\ivcc{\blue{x(t)}}{\green{y(t)}} = \ivcc{\blue{\sin(t) + \cos(t)}}{\green{\cos(t)}}\]
Op een parameterkromme bestaat het idee van richting. Informeel gezien wordt de richting van de kromme bepaald door de richting die de kromme heeft wanneer #t# toeneemt. Men kan de richting van een parametrische kromme omdraaien door te "bewegen in de andere richting". Bijvoorbeeld een parametrische kromme over een interval #[a,b]# \[\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(t)}\\ \green{y}&=\green{y(t)} \end{cases}\] kan worden omgedraaid met de volgende kromme: \[\begin{cases}\blue{x}&=\blue{x(-t)}\\ \green{y}&=\green{y(-t)} \end{cases}\]
op het interval #[-b, -a]#.
Deze begrippen kunnen nauwkeurig worden gemaakt met behulp van de afgeleide. Dat doen we later .
De snijpunten van de kromme met de assen van het #x,y#-vlak kunnen worden berekend. Om het snijpunt van de kromme met de #y#-as te berekenen, moet je #\blue{x(t)}=0# oplossen. De snijpunten met de #x#-as worden berekend door het oplossen van #\green{y(t)}=0#.
Parameterkrommen zijn zeer nuttig voor het beschrijven van beweging in de natuurkunde.
De kromme
\[\orange P \colon \phantom{x}\begin{cases}\blue{x(t)}&=10 \cdot \cos( \theta ) t\\ \green{y(t)}&= 10 \cdot \sin(\theta) t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \end{cases}\]
beschrijft de baan van een voorwerp dat wordt geworpen vanaf de oorsprong, vanuit een variërende hoek #\theta#, en met een snelheid van #10 \text{ } m/s# met een gravitatieconstante #g#. Op de meeste plekken op aarde is de gravitatieconstante rond de #9.8 \text{ } m /s^2#.
Het is mogelijk om de waarden in het plaatje aan te passen met behulp van de schuifregelaars. Merk op dat de afstand die wordt gegooid maximaal is wanneer de hoek #45# graden is, en dat de waarde van #\theta# in de schuif in radialen wordt aangegeven.
In het voorbeeld negeren we voor het gemak wrijving.
De maximale hoogte van een parameterkromme wordt bereikt wanneer #\green{y(t)}# maximaal is binnen het gespecificeerde interval. Als we de maximale hoogte van de kromme in het voorbeeld willen weten, moeten we de maximale waarde vinden van
\[\green{y(t)}= 10 \cdot \sin(\theta) t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 \]
Het tijdstip waarop de maximale waarde wordt bereikt kan worden gevonden door de afgeleide op nul te zetten:
\[\frac{\partial y(t)}{\partial t}=10\cdot \sin(\theta) - g\cdot t = 0\quad\text{ so }\quad t= \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g}\]
De maximale hoogte van de kromme is daarom de hoogte die wordt bereikt op tijdstip #t_h= \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g}#, dus substitueren we deze waarde:
\[\begin{array}{rcl}\green{y(t_h)}&=& 10 \cdot \sin(\theta) t_h - \frac{1}{2}g \cdot t_h^2\\ &=& 10\cdot \sin(\theta)\frac{10\cdot \sin(\theta)}{g} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \frac{10\cdot \sin(\theta)}{g} \right)^2\\ &=& 100\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g}- 50\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g} \\ &=&50\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g} \end{array}\]
Dit geeft een maximale hoogte van #50\cdot \frac{\sin^2(\theta)}{g}#.
Elke grafiek van een functie kan worden beschreven met een parameterkromme. In die zin is de theorie van parameterkrommen breder dan de theorie van functies en grafieken.
Als #f(x)# een functie op een domein #\ivcc{a}{b}# is, dan kunnen we een parameterkromme #\orange{C}# als volgt definiëren
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{t}\\\green{y(t)}&=&\green{f(t)},\end{array}\] waarbij #t# varieert op het interval #\ivcc{a}{b}#. Deze kromme valt samen met de grafiek van de functie # f(x)#.
Wanneer we de definitie van een parameterkromme zoals hierboven beschreven gebruiken, is het eigenlijk niet zo dat elke grafiek van een functie kan worden beschreven aan de hand van de parametervergelijking zoals in het voorbeeld. Er is een technisch detail waarbij het domein van een functie geen interval hoeft te zijn, terwijl de variabele #t# in een parameterkromme altijd moet variëren over een interval. De nauwkeurige omschrijving is dus: elke grafiek van een functie gedefinieerd op een interval kan worden beschreven met een parameterkromme.
Een andere manier om ons te ontdoen van dit technisch detail is het versoepelen van de definitie van een parametervergelijking zodanig dat #t# ook mag variëren over een deelverzameling van de reële getallen.
Niet elke parameterkromme kan worden omschreven als de grafiek van een enkele functie. Neem bijvoorbeeld de eenheidscirkel, beschreven als de parametervergelijking \[\begin{array}{rcl}\green{x(t)}&=&\green{\cos (t)}\\ \blue{y(t)}&=&\blue{\sin(t)}.\end{array}\]
Dit beschrijft de cirkel met straal #1# rondom de oorsprong.
Aangezien een functie slechts één #y#-waarde kan hebben die overeenkomt met elke #x#-waarde, hebben we tenminste twee functies nodig om de eenheidscirkel beschrijven: één voor de bovenste helft en één voor de onderste helft van de cirkel.
Gegeven de parametervergelijkingen #\rv{\blue{x(t)}, \green{y(t)}}# en een interval #\ivcc{a}{b}# voor #t#, kan het zeer nuttig zijn om een schets van de kromme te maken. Dit kan gedaan worden door een aantal expliciete waarden voor #t# in #\ivcc{a}{b}# te nemen, en deze in de parametervergelijkingen #\blue{x(t)}# en #\green{y(t)}# te substitueren. Na deze in het vlak te hebben geschetst zal in de meeste gevallen duidelijk zijn wat de corresponderende kromme moet zijn.
Voorbeeld
Neem de kromme #\orange C# gegeven door #\ivcc{ \blue{x(t)}}{ \green{y(t)}} = \ivcc{ \blue{\frac{3t}{1+t^3}}}{ \green{\frac{3t^2}{1+3t^3}}}# gedefinieerd voor #t \neq -1#. We kozen een aantal waarden voor #t# en plotten het punt #\orange{P_t}#. De stippellijn is de kromme #\orange C# zelf.
Bepaal de maximale hoogte, #h#, van de parameterkromme gegeven door de vergelijkingen
\[\begin{cases}
x(t) &= \left(t-3\right)\cdot \left(t+2\right)+2, \\
y(t) &= 6\cdot \cos \left(\sqrt{t^2+4\cdot t+3}\right)-2.
\end{cases}\]
waarbij #t# in het interval #\left[ -9 , 10 \right] # ligt.
De maximale hoogte is #4#.
De maximale hoogte wordt bereikt wanneer #y(t) = 6\cdot \cos \left(\sqrt{t^2+4\cdot t+3}\right)-2# maximaal is.
De cosinus is periodiek en neemt maximumwaarde #1# aan. Dit gebeurt als #\sqrt{t^2+4\cdot t+3} = 0#.
Kwadrateren geeft ons #t^2+4\cdot t+3 = 0#. Wij lossen deze vergelijking op door te ontbinden in factoren. Ontbinden geeft ons #\left(t+1\right)\cdot \left(t+3\right) = 0#. Dus de oplossingenen zijn #\left[ t=-3 , t=-1 \right] #.
Deze oplossingen liggen in het gewenste interval. Derhalve kunnen we de maximale hoogte berekenen door het substitueren van één van deze waarden in #y(t)#. We zien dan dat de maximale hoogte #4# is.
Parameterkrommen
