Mise en évidence

Algèbre: Factorisation

Mise en évidence

Nous pouvons mettre en évidence des facteurs communs:

$\begin{array}{rcl}\blue{a}\green{b}+\blue{a}\purple{c} &=& \blue{a}(\green{b}+\purple{c}) \\ \\ \blue{a}\purple{c}+\green{b}\purple{c}&=&(\blue{a}+\green{b})\purple{c}\end{array}$

Comme vous pouvez le voir dans les exemples, le facteur commun peut être un nombre ou une expression algébrique.

Exemples

$\begin{array}{rcl}3x+27&=&\blue{3} \cdot \green{x}+\blue{3}\cdot \purple{9}\\&=&\blue{3} \cdot (\green{x}+\purple{9})\\ \\ 3x^2+x &=& \blue{x} \cdot \green{3x} + \blue{x} \cdot \purple{1} \\&=& \blue{x} \cdot (\green{3x}+ \purple{1})\\ \\ 4x^2+8x&=& \blue{4x} \cdot \green{x} + \blue{4x} \cdot \purple{2} \\&=& \blue{4x} \cdot (\green{x}+ \purple{2})\end{array}$

Plusieurs termes

La règle ci-dessus est également valable pour plusieurs termes:

$\begin{array}{rcl}\blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}\right) \\ \\ \blue{a} \cdot \green{b} + \blue{a} \cdot \purple{c} + \blue{a} \cdot \color{purple}{d}+\blue{a} \cdot \orange{e}&=&\blue{a} \cdot \left(\green{b}+\purple{c}+\color{purple}{d}+\orange{e}\right)\end{array}$

Exemples

$\begin{array}{rcl}2x^3+4x^2+6x&=&\blue{2x} \cdot \green{x^2} + \blue{2x} \cdot \purple{2x} + \blue{2x} \cdot \color{purple}{3}\\&=&\blue{2x} \cdot \left(\green{x^2}+\purple{2x}+\color{purple}{3}\right) \\ \\ 4x^4+8x^3+4x^2+12x&=&\blue{4x} \cdot \green{x^3} + \blue{4x} \cdot \purple{2x^2} + \blue{4x} \cdot \color{purple}{x}+\blue{4x} \cdot \orange{3}\\&=&\blue{4x} \cdot \left(\green{x^3}+\purple{2x^2}+\color{purple}{x}+\orange{3}\right)\end{array}$

Dans la règle ci-dessus, il y a souvent plusieurs possibilités pour mettre en évidence des facteurs. Si nous mettons en évidence un facteur $4$ , nous pouvons également mettre en évidence un facteur $2$ . Généralement, nous nous intéressons à mettre en évidence le plus grand facteur possible.

Factorisation

Si nous avons mis en évidence autant de facteurs que possible, nous l'appelons factorisation. Le processus de mise en évidence est appelé factorisation.

Exemples

Dans les exemples ci-dessous, nous verrons que nous pouvons parfois mettre en évidence plusieurs facteurs. Nous appellerons la dernière étape de la mise en évidence la « factorisation », car nous avons mis en évidence le plus grand facteur commun.

$\begin{array}{rcl} 4x^2+2x &=& 2 \cdot (2x^2 +x) \\ &=& 2x \cdot (2x +1) \end{array}$

Le plus grand facteur que nous avons mis en évidence dans l'exemple ci-dessus est $2x$ . La factorisation est donc $2x \cdot (2x +1)$ .

$\begin{array}{rcl} 4x^3+8x^2 &=& 4 \cdot (x^3 +2x^2) \\ &=& 4x \cdot (x^2 +2x) \\ &=& 4x^2 \cdot (x+2) \end{array}$

Le plus grand facteur que nous avons mis en évidence dans l'exemple ci-dessus est $4x^2$ . La factorisation est donc $4x^2 \cdot (x+2)$ .

Avancée

À l'exception de l'ordre des termes et de la multiplication des constantes, la factorisation est unique s'il n'y a pas d'autres facteurs à mettre en évidence.

Dans un premier temps, nous travaillons uniquement avec des nombres entiers et des fractions, et non pas avec des racines.

Factorisez, si possible: $-6\cdot d-30$ .

$-6\cdot \left(d+5\right)$

Pour factoriser, nous cherchons le plus grand facteur commun aux deux termes. Dans ce cas, le plus grand facteur commun est $-6$ .

$\begin{array}{rcl} -6\cdot d-30 &=& -6 \cdot d -6 \cdot 5 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{écriture avec le facteur commun }}\\ &=& -6\cdot \left(d+5\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation }}\\ \end{array}$

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