Het verschil van twee kwadraten

Algebra: Merkwaardige producten

Het verschil van twee kwadraten

Verschil van twee kwadraten

Bij het verschil van twee kwadraten kunnen we ontbinden in factoren met de volgende regel:

\[\blue a^2-\green b^2=(\blue a+\green b) (\blue a-\green b)\]

\[\begin{array}{rcl} x^2-16&=& \blue{x}^2-\green{4}^2 \\ &=& (\blue{x}+\green{4}) (\blue{x}-\green{4})
\end{array}\]

We kunnen de formule ook andersom gebruiken om haakjes weg te werken:

\[(\blue a+\green b) (\blue a-\green b) = \blue a^2-\green b^2\]

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}+\green{5}) (\blue{x}-\green{5}) &=& \blue{x}^2-\green{5}^2 \\ &=& x^2-25 \\
\end{array}\]

De afleiding van de regel volgt uit de bananenformule: \[\begin{array}{rclcl}(\blue a+\green b)(\blue a-\green b)&=&\blue a^2-\blue a\green b +\green b\blue a -\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{bananenformule}}\\ &=&\blue a^2-\blue a \green b+\blue a \green b-\green b^2 &&\blue{\text{regel } ab=ba}\\ &=&\blue a^2-\green b^2&&\blue{\text{termen samengenomen}}\end{array}\]

Niet voor som van twee kwadraten

Let op dat deze regel niet voor de som van twee kwadraten geldt:

\[(a+b)^2 \;\red\ne \; a^2 +b^2\]

Maar er geldt volgens het kwadraat van een som:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2 a b+b^2\]

Vergeet dus in dat geval de term #2 a b# niet.

Ontbind \({324}{y}^2-1\) in factoren.

#(18y+1)(18y-1)#

#\begin{array}{rcl}{324}{y}^2-1&=&(18y)^2-1^2\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{kwadraat herkennen}}\\&=&(18y+1)(18y-1)\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ontbonden in factoren}}\end{array}#

Nieuw voorbeeld