Simplification de fractions

Algèbre: Fractions

Simplification de fractions

Fractions équivalentes

Nous obtenons une fraction équivalente si le $\orange{\text{numérateur}}$ et le $\blue{\text{dénominateur}}$ :	Exemples
1. sont multipliés par un même nombre	$\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{3x+1}}{\blue{x+2}} &=& \dfrac{\orange{6x+2}}{\blue{2x+4}} \end{array}$
2. sont multipliés par une même variable	$\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{x \cdot z}}{\blue{y \cdot z}} \end{array}$
3. sont divisés par un même nombre	$\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{4x+2}}{\blue{2x+2}} &=& \dfrac{\orange{2x+1}}{\blue{x+1}}\end{array}$
4. sont divisés par une même variable	$\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \end{array}$

Simplification de fractions

Le processus de rendre le numérateur et le dénominateur d'une fraction plus petits est appelé simplification.

Exemple

$\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} = \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}}$

Factorisation

La factorisation peut être utilisée pour trouver des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Ces facteurs peuvent être éliminés à l'aide d'une division, c'est-à-dire en simplifiant la fraction.

Exemples

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\orange{x+2}}{\blue{x^2+5 \cdot x +6}} &=& \dfrac{\orange{x+2}}{\blue{(x+2) \cdot (x+3)}} \\ &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+3}} \end{array}$

AvancéeReprenons l'exemple:

$\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}} = \dfrac{{1}}{\blue{x}+1}$

Si nous substituons $\blue x=\green 0$ dans l'expression de gauche, nous allons diviser par zéro, ce qui est interdit. Si nous substituons $\blue x=\green 0$ dans l'expression de droite, nous obtenons $1$ . Ainsi, l'égalité n'est pas vraie pour $\blue x=\green 0$ .

En général, les égalités restent seulement vraies en simplifiant par des nombres pour lesquels la fraction initiale a été définie. Pour être rigoureux, nous pouvons préciser ces nombres, mais généralement nous ne le faisons pas.

Calculez $\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}}$ pour $\blue{x}=\green{0}$ :

$\dfrac{\green{0}}{\green 0^2+\green 0} = \dfrac{0}{0}$

Calculez $\dfrac{{1}}{\blue{x}+1}$ pour $\blue{x}=\green{0}$ :

$\dfrac{1}{\green 0+1} = \dfrac{1}{1}$

Simplifiez autant que possible (ne pas développer les parenthèses):

$\dfrac{9\cdot a^2\cdot b^5\cdot \left(c+1\right)^4}{a^{12}\cdot b^9\cdot \left(c+1\right)^3}$

${{9\cdot \left(c+1\right)}\over{a^{10}\cdot b^4}}$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{9\cdot a^2\cdot b^5\cdot \left(c+1\right)^4}{a^{12}\cdot b^9\cdot \left(c+1\right)^3} &=& \displaystyle {{9\cdot \left(c+1\right)}\over{a^{10}\cdot b^4}} \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{simplification par } a^2\cdot b^5\cdot \left(c+1\right)^3 \text{ }} \end{array}$

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