Algèbre: Puissances et racines
Calculs avec des puissances à exposants fractionnaires
Une puissance à exposant fractionnaire est une puissance dont l'exposant peut être écrit sous forme d'une fraction. Une racine peut être écrite comme une puissance à exposant fractionnaire.
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Pour #\blue a\geq 0# et un entier #\orange n \geq 2# nous avons: \[\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}\] |
Exemples \[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}\] |
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Pour #\blue a \geq 0# et des entiers #\orange n, \purple m \geq 2# nous avons: \[\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}\] |
Exemples \[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}\] |
Pour les puissances à exposants fractionnaires s'appliquent les mêmes règles que pour les puissances à exposants entiers.
#\begin{array}{rcl}
\left(p^{\frac{1}{2}} \cdot a \cdot z^{-2}\right)^{3} &=& \left(p^{\frac{1}{2}}\right)^{3} \cdot a^{3} \cdot \left(z^{-2}\right)^{3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\
&=& p^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot a^{3} \cdot z^{-2 \cdot 3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\
&=& p^{{{3}\over{2}}} \cdot a^{3} \cdot z^{-6}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calcul des exposants}}\\
&=& \dfrac{p \cdot \sqrt{p} \cdot a^{3}}{z^{6}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{élimination des exposants négatifs et fractionnaires par les règles }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ et } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}
\end{array}#
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