Algebra: Factoren buiten haakjes halen
Ontbinden in factoren
We hebben gezien hoe we een uitdrukking kunnen ontbinden in factoren met enkele haakjes. Nu zullen we kijken hoe we een uitdrukking kunnen herschrijven met dubbele haakjes.
Product-som-methode
In het voorbeeld hieronder wordt uitgelegd hoe we goede getallen voor de ontbinding van #x^2+b \cdot x +c# kunnen vinden.
Ontbind de uitdrukking #x^2+3\cdot x-40# in factoren.
#x^2+3\cdot x-40=# \((x-5)\cdot(x+8)\)
We zoeken getallen #\purple{m}# en #\purple{n}#, zodat de kwadratische veelterm #x^2+3\cdot x-40# te schrijven is als #(x+\purple{m})\cdot(x+\purple{n})#. Hierbij merken we op dat #\purple{m}# en #\purple{n}# te verwisselen zijn. We werken de haakjes weg en vergelijken het resultaat met de oorspronkelijke uitdrukking:
\[ x^2+(\purple{m}+\purple{n})\cdot x+\purple{m}\cdot \purple{n} = x^2+3\cdot x-40\tiny\]
Vergelijking met #x^2+3\cdot x-40# geeft \[
\lineqs{\purple{m}+\purple{n} &=& 3\cr \purple{m}\cdot \purple{n} &=& -40}\]Als #\purple{m}# en #\purple{n}# gehele getallen zijn, dan zijn ze dus delers van #-40#. We doorlopen alle mogelijke delers #\purple{m}# met #\purple{m}^2\le 40# (omdat we dan alle mogelijkheden hebben, omdat #\purple{m}# en #\purple{n}# van rol mogen wisselen) en berekenen, in elk van de gevallen, de som van #\purple{m}# en #\purple{n}=\frac{-40}{\purple{m}}#:
\[\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
\purple{m}&\purple{n}&\purple{m}+\purple{n}\\
\hline
1&-40&-39\\ \hline -1&40&39\\ \hline 2&-20&-18\\ \hline -2&20&18\\ \hline 4&-10&-6\\ \hline -4&10&6\\ \hline 5&-8&-3\\ \hline -5&8&3 \\
\hline
\end{array}\]
De regel van de tabel met #\purple{m}=-5# en #\purple{n}=8# is de enige met som #3#, dus dit is het antwoord:
\[x^2+3\cdot x-40=(x-5)\cdot(x+8)\tiny.\]
We zoeken getallen #\purple{m}# en #\purple{n}#, zodat de kwadratische veelterm #x^2+3\cdot x-40# te schrijven is als #(x+\purple{m})\cdot(x+\purple{n})#. Hierbij merken we op dat #\purple{m}# en #\purple{n}# te verwisselen zijn. We werken de haakjes weg en vergelijken het resultaat met de oorspronkelijke uitdrukking:
\[ x^2+(\purple{m}+\purple{n})\cdot x+\purple{m}\cdot \purple{n} = x^2+3\cdot x-40\tiny\]
Vergelijking met #x^2+3\cdot x-40# geeft \[
\lineqs{\purple{m}+\purple{n} &=& 3\cr \purple{m}\cdot \purple{n} &=& -40}\]Als #\purple{m}# en #\purple{n}# gehele getallen zijn, dan zijn ze dus delers van #-40#. We doorlopen alle mogelijke delers #\purple{m}# met #\purple{m}^2\le 40# (omdat we dan alle mogelijkheden hebben, omdat #\purple{m}# en #\purple{n}# van rol mogen wisselen) en berekenen, in elk van de gevallen, de som van #\purple{m}# en #\purple{n}=\frac{-40}{\purple{m}}#:
\[\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
\purple{m}&\purple{n}&\purple{m}+\purple{n}\\
\hline
1&-40&-39\\ \hline -1&40&39\\ \hline 2&-20&-18\\ \hline -2&20&18\\ \hline 4&-10&-6\\ \hline -4&10&6\\ \hline 5&-8&-3\\ \hline -5&8&3 \\
\hline
\end{array}\]
De regel van de tabel met #\purple{m}=-5# en #\purple{n}=8# is de enige met som #3#, dus dit is het antwoord:
\[x^2+3\cdot x-40=(x-5)\cdot(x+8)\tiny.\]
In de onderstaande voorbeelden wordt duidelijk dat er ook andere situaties zijn waarin we kunnen ontbinden in factoren. Daarnaast zien we dat we soms het buiten haakjes halen van factoren kunnen combineren met het ontbinden in dubbele haakjes.
#\left(z+1\right)^2#
Aangezien het product van #1# en #1# gelijk is aan #1# en de som aan #2# geldt:
\[z^2+2\cdot z+1= \left(z+1\right)^2\]
Aangezien het product van #1# en #1# gelijk is aan #1# en de som aan #2# geldt:
\[z^2+2\cdot z+1= \left(z+1\right)^2\]
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
