Eenheidscirkel en hoeken in radialen

Goniometrie: Hoeken met sinus, cosinus en tangens

Eenheidscirkel en hoeken in radialen

Tot nu toe hebben we hoeken in graden uitgedrukt, maar in de wiskunde worden hoeken vaak uitgedrukt in radialen. Om radialen te introduceren zullen we een cirkel met straal $1$ gebruiken. We noemen dit de eenheidscirkel.

Eenheidscirkel

De eenheidscirkel is een cirkel met middelpunt $\rv{0,0}$ en straal $1$ .

Het punt $P=\rv{\blue{x_P}, \purple{y_P}}$ begint in $\rv{1,0}$ en loopt vervolgens tegen de klok in over de eenheidscirkel. De draaiingshoek noemen we $\green{\alpha}$ .

Er geldt nu $\sin(\green{\alpha})=\purple{y_P}$ en $\cos(\green{\alpha})=\blue{x_P}$ .

Op deze manier kunnen we dus met de sinus en de cosinus ook hoeken groter dan $90^\circ$ definiëren.

Rekenregel

Een handige rekenregel voor elke hoek $\green{\alpha}$ in graden is

$\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1$

Met behulp van de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras kunnen we deze rekenregel afleiden. In de eenheidscirkel zien we namelijk de rechthoekige driehoek met rechtshoekszijden $\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})$ en $\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})$ , en schuine zijde met lengte $1$ . Er geldt dus volgens de stelling van Pythagoras:

$\purple{y_p}^2+\blue{x_p}^2=1$

oftewel

$\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1$

Voorbeelden

$\begin{array}{rcl}\sin(\green{60^\circ})^2+\cos(\green{60^\circ})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{225^\circ})^2+\cos(\green{225^\circ})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}$

Met behulp van deze eenheidscirkel kunnen we nu de grootte van de hoek in radialen uitdrukken.

Hoek in radialen

De grootte van hoek $\green{\alpha}$ in de eenheidscirkel in radialen is de lengte van de boog op de eenheidscirkel.

De lengte van de gehele cirkelboog is $2 \pi$ . Daarom is een hoek van $360^\circ$ gelijk aan $2 \pi$ radialen.

Een hoek $\green{\alpha}$ in graden meet $\tfrac{\green{\alpha}}{180}\cdot\pi$ radialen.
De hoek met $30$ graden meet $\tfrac{\green{30}}{180}\cdot\pi = \tfrac 16 \pi$ .

Een hoek $\green{\alpha}$ in radialen meet $180\cdot \tfrac{\green{\alpha}}{\pi}$ graden.
De hoek $\pi$ radialen meet $180 \cdot \tfrac{\green{\pi}}{\pi} = 180$ graden.

Grote en negatieve hoeken

Er bestaan ook hoeken groter dan $360^\circ$ of $2 \pi$ . Deze hoeken lopen op de eenheidscirkel meer dan een rondje. De booglengte is dan $\text{booglengte}=2 \pi \cdot \text{aantal rondjes}+\text{hoek op eenheidscirkel}$

De cosinus en sinus van hoeken waarbij we een veelvoud van $2 \pi$ optellen zijn dus gelijk. Dus:

$\begin{array}{c}\sin(\alpha+2 \pi)=\sin(\alpha)\\ \\ \cos(\alpha+2 \pi)=\cos(\alpha) \end{array}$

Ditzelfde geldt ook voor negatieve hoeken, alleen dan lopen we rondjes achteruit op de eenheidscirkel.

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\cos(\tfrac{5}{2}\pi)&=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi+2 \pi)\\ &=&\cos(\tfrac{1}{2}\pi)\\ &=&0 \\ \\ \sin(\tfrac{7}{3}\pi)&=&\sin(\tfrac{1}{3}\pi+2 \pi) \\&=& \sin(\tfrac{1}{3}\pi)\\ &=&\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$

Radialen en de rekenmachine

Wanneer we met hoeken in radialen met een rekenmachine werken, moeten we de rekenmachine in radialen zetten.

Let daarbij op dat de rekenmachine de antwoorden vaak als kommagetallen geeft, terwijl we meestal met de exacte waarden werken. We zullen in Speciale waarden van sinus, cosinus en tangens naar de belangrijkste waarden kijken.

Rekenregel

Ook bij het rekenen met hoeken in radialen geldt voor elke hoek $\green{\alpha}$ in radialen de rekenregel $\sin(\green{\alpha})^2+\cos(\green{\alpha})^2=1$

Er blijft namelijk een rechthoekige driehoek in de eenheidscirkel met rechtshoekszijden $\purple{y_p}=\sin(\green{\alpha})$ en $\blue{x_p}=\cos(\green{\alpha})$ , en schuine zijde met lengte $1$ . Opnieuw geldt de rekenregel dus volgens de stelling van Pythagoras.

De rekenregel hangt dus niet af van of we met hoeken in graden of met hoeken in radialen rekenen.

Voorbeelden

$\begin{array}{rcl}\sin(\green{\frac{1}{3}\pi})^2+\cos(\green{\frac{1}{3}\pi})^2&=& \\ \left(\purple{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{\frac{1}{2}}\right)^2 &=&\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}&=&\\1 \\ \\ \sin(\green{\frac{5}{4}\pi})^2+\cos(\green{\frac{5}{4}\pi})^2&=&\\ \left(\purple{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2 + \left(\blue{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)^2&=&\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&\\1 \end{array}$

De sinus van een hoek $\alpha$ , in radialen of in graden, geeft dus de $y$ -coördinaat van het punt op de eenheidscirkel dat een hoek $\alpha$ met de $x$ -as maakt.

De cosinus van een hoek $\alpha$ , in radialen of in graden, geeft de $x$ -coördinaat van het punt op de eenheidscirkel dat een hoek $\alpha$ met de $x$ -as maakt.

Hoeveel radialen meet een hoek van $17$ graden?

Geef je antwoord in de vorm van een decimaal getal met twee decimale cijfers.

$0.30$ radialen

Volgens de theorie meet een hoek van $\alpha$ graden precies $\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180}$ radialen.
Om het antwoord op de vraag te vinden, vullen we $\alpha=17$ in deze uitdrukking in :
$\dfrac{17\cdot \pi}{180}\approx 0.30\tiny.$

Nieuw voorbeeld