Fonctions trigonométriques réciproques

Trigonométrie: Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques réciproques

des Ainsi, si nous voulons résoudre l'équation $\sin(x)=\tfrac{1}{2}$ , nous trouverons une infinité de solutions. Nous allons maintenant limiter le domaine des fonctions afin que nous puissions définir des fonctions réciproques. Ces fonctions réciproques peuvent nous aider à résoudre des équations.

Fonction réciproque de sinus, cosinus et tangente

Nous définissons les fonctions réciproques de sinus, de cosinus et de tangente comme suit:

$\begin{array}{rcl} \blue x=\arcsin(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\sin(\blue x) \;\text{ et }\; -\frac{\pi}{2} \leq \blue x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ \blue x=\arccos(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\cos(\blue x) \;\text{ et }\; 0 \leq \blue x \leq \pi \\ \\ \blue x=\arctan(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\tan(\blue x) \;\text{ et }\; -\frac{\pi}{2} \lt \blue x \lt \frac{\pi}{2}\end{array}$

Exemple

$\arcsin\left(\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \blue{\frac{\pi}{4}}$

car

$\sin\left(\blue{\frac{\pi}{4}}\right)=\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $-\frac{\pi}{2} \leq \blue{\frac{\pi}{4}} \leq \frac{\pi}{2}$

Calculatrice

Sur votre calculatrice, les touches $\arcsin$ , $\arccos$ et $\arctan$ sont souvent dénommées $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ et $\tan^{-1}$ . C $\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)$ (cosécante), $\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$ (sécante) et $\frac{1}{\tan(x)}$ .

Propriétés de arcsin, arccos et arctan

La fonction $f(x)=\arcsin(x)$ a pour

domaine de définition: $\ivcc{-1}{1}$
ensemble image: $\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$

Le graphe est le symétrique de $f(x)=\sin(x)$ sur le domaine $\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ par rapport à la droite $y=x$ .

plaatje

La fonction $f(x)=\arccos(x)$ a pour

domaine de définition: $\ivcc{-1}{1}$
ensemble image: $\ivcc{0}{\pi}$

Le graphe est le symétrique de $f(x)=\cos(x)$ sur le domaine $\ivcc{0}{\pi}$ par rapport à la droite $y=x$ .

plaatje

La fonction $f(x)=\arctan(x)$ a pour

domaine de définition: toutes les valeurs de $x$
ensemble image: $\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$

Les asymptotes horizontales sont $y=-\frac{\pi}{2}$ et $y=\frac{\pi}{2}$ et le graphe est le symétrique de $f(x)=\tan(x)$ sur le domaine $\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ par rapport à la droite $y=x$ .

plaatje

Lien arcsin et arccos

En regardant attentivement les graphes de $f(x)=\arcsin(x)$ et $f(x)=\arccos(x)$ , nous voyons que:

$\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin(x) \text{ pour } -1\le x\le 1$

En effet , $f(x)=\sin(x)$ et $f(x)=\cos(x)$ ont le même graphe déplacé de $\frac{\pi}{2}$ .

Donnez la réponse exacte en radians.

$\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=$ $\dfrac{\pi}{4}$

Comme $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{4}\leq\dfrac{\pi}{2}$ .

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