La fonction logarithmique

Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions logarithmiques

La fonction logarithmique

Nous venons de voir les fonctions exponentielles. Maintenant, nous allons voir les logarithmes. Le logarithme peut être vu comme étant la réciproque, ou l'inverse, de la fonction exponentielle. Prenons la fonction $\blue{a}^x$ ; il peut être intéressant de résoudre l'équation $\blue{a}^x=\green{b}$ . Lors de la résolution de cette équation, nous allons utiliser le logarithme.

Logarithme

Le nombre $\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)$ est le nombre qui doit être élevé à la puissance de $\blue{a}$ pour obtenir $\green{b}$ . Nous appelons cela le logarithme. Ainsi,

$\begin{array}{lcr}\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)=x&\text{ donne }&\blue{a}^x=\green{b}\end{array}$

Le nombre $\blue{a}$ est appelé la base du logarithme. Le nombre $\blue{a}$ doit être positif et non égal à $1$ , et le nombre $\green{b}$ doit être positif.

Exemples

$\begin{array}{lcrl}\log_{\blue{2}}\left(\green{8}\right)&=&3&\text{car }\blue{2}^3=\green{8} \\ \log_{\blue{4}}\left(\green{\frac{1}{16}}\right)&=&-2&\text{car }\blue{4}^{-2}=\green{\frac{1}{16}} \\ \log_{\blue{5}}\left(\green{\sqrt{5}}\right)&=&\frac{1}{2}&\text{car }\blue{5}^{\frac{1}{2}}=\green{\sqrt{5}} \\ \end{array}$

Étymologie

Le mot logarithme est composé des deux mots grecs lógos ("rapport") et arithmos ("nombre"). Le terme a été créé par le mathématicien écossais John Napier en 1614.

Nous pouvons en déduire deux règles importantes de la définition du logarithme.

$\begin{array}{rcl}\blue{a}^{\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)}&=&\green{b}\end{array}$

Exemple

$\begin{array}{lccr}\blue{3}^{\log_{\blue{3}}\left(\green{9}\right)}&=&\green{9}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^{\green{b}}\right)&=&\green{b}\end{array}$

Exemple

$\begin{array}{lccrr}\log_{\blue{a}}\left(1\right)&=&\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^\green{0}\right)&=&\green{0}\end{array}$

Simplifiez $\log_{3}\left(27\right).$

$3$

$\begin{array}{rcl} \log_{3}\left(27\right)&=&\log_{3}\left(3^3 \right)\\ &&\quad \blue{\text{identification de }x\text{ tel que }3^x=27}\\ &=& 3\\ &&\quad \blue{\log_{a}\left(a^b\right)=b} \end{array}$

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