De logaritme

Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen

De logaritme

We hebben eerder gekeken naar exponentiële functies. We gaan nu kijken naar de logaritme, dit kunnen we zien als de inverse, of tegenovergestelde, van de exponentiële functie. Neem de functie $\blue{a}^x$ ; het kan interessant zijn om $x$ op te lossen in de vergelijking $\blue{a}^x=\green{b}$ . Bij het oplossen van deze vergelijking gaan we gebruik maken van de logaritme.

Logaritme

Het getal $\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)$ is de exponent waarmee $\blue{a}$ verheven moet worden om $\green{b}$ te krijgen, we noemen dit de logaritme. Er geldt dus

$\begin{array}{lcr}\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)=x&\text{ als }&\blue{a}^x=\green{b}\end{array}$

Het getal $\blue{a}$ heet het grondtal van de logaritme. Het getal $\blue{a}$ moet positief zijn en ongelijk $1$ , het getal $\green{b}$ moet positief zijn.

Voorbeelden

$\begin{array}{lcrl}\log_{\blue{2}}\left(\green{8}\right)&=&3&\text{want }\blue{2}^3=\green{8} \\ \log_{\blue{4}}\left(\green{\frac{1}{16}}\right)&=&-2&\text{want }\blue{4}^{-2}=\green{\frac{1}{16}} \\ \log_{\blue{5}}\left(\green{\sqrt{5}}\right)&=&\frac{1}{2}&\text{want }\blue{5}^{\frac{1}{2}}=\green{\sqrt{5}} \\ \end{array}$

Etymologie

Het woord 'logaritme' is een samenstelling van de twee griekse woorden 'logos' en 'arithmes'. 'Arithmes' betekent getal; 'logos' betekent zo iets als 'verhouding'. De logaritme geeft als het ware een verhouding tussen twee getallen, vandaar de naam. Het woord is bedacht in 1614.

Uit de definitie van de logaritme kunnen we twee belangrijke regels afleiden.

$\begin{array}{rcl}\blue{a}^{\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)}&=&\green{b}\end{array}$

Voorbeeld

$\begin{array}{lccr}\blue{3}^{\log_{\blue{3}}\left(\green{9}\right)}&=&\green{9}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^{\green{b}}\right)&=&\green{b}\end{array}$

Voorbeeld

$\begin{array}{lccrr}\log_{\blue{a}}\left(1\right)&=&\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^\green{0}\right)&=&\green{0}\end{array}$

Vereenvoudig $\log_{5}\left(125\right).$

$3$

$\begin{array}{rcl} \log_{5}\left(125\right)&=&\log_{5}\left(5^3 \right)\\ &&\quad \blue{\text{zoek }x\text{ zodanig dat }5^x=125}\\ &=& 3\\ &&\quad \blue{\log_{a}\left(a^b\right)=b} \end{array}$

Nieuw voorbeeld