Isolation de variables

Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions logarithmiques

Isolation de variables

En utilisant ce que nous avons appris lors de la réécriture de logarithmes, nous pouvons réécrire des fonctions exponentielles comme une fonction de la forme $x=\ldots$ . Nous appelons cela l'isolation de la variable $x$ .

Nous pouvons réécrire la fonction $y=5\cdot 4^{x-1}$ comme une équation de la forme $x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)$ .

$\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{équation donnée}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{division par }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ donne }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{addition de }1}\end{array}$

Réciproque

Isoler la variable $x$ à partir d'une fonction revient à déterminer la réciproque d'une fonction $f(x)$ . Ainsi, nous utiliserons l'expression "donnez la fonction réciproque $f^{-1}(x)$ " dans les exercices comme cela a la même signification que "isolez $x$ dans la fonction $f(x)$ ". Dans l'exemple ci-dessus, nous utilisons l' $y$ -notation au lieu de la notation $f(x)$ . La fonction réciproque serait alors

$f^{-1}(x)=\log_4\left(\dfrac{x}{5}\right)+1$

Nous pouvons également isoler $x$ de fonctions plus difficiles comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants.

Isolez $x$ dans l'équation suivante.

$y=35+10^{3.3\cdot x+7}$

$x=$ $\frac{\log_{10}\left(y-35\right)-7}{3.3}$

$\begin{array}{rcl} y&=&35+10^{3.3\cdot x+7}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\ 10^{3.3\cdot x+7}&=&y-35\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{échange des membres et termes constants mis dans le membre de droite}}\\ 3.3\cdot x+7&=&\log_{10}\left(y-35\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ donne } b=\log_a\left(c\right)}\\ 3.3\cdot x&=&\log_{10}\left(y-35\right)-7\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\ x&=&\dfrac{\log_{10}\left(y-35\right)-7}{3.3}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }3.3} \end{array}$

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