Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Variabele vrijmaken
Door de kennis die we opgedaan hebben bij het omschrijven van logaritmen, kunnen we een exponentiële functie omschrijven naar een functie van de vorm #x=\ldots#. Dit wordt ook wel het vrijmaken van #x# genoemd.
De functie #y=5\cdot 4^{x-1}# kunnen we omschrijven naar een vergelijking van de vorm #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#.
\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{beide kanten gedeeld door }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ geeft }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{beide kanten }1\text{ bij optellen}}\end{array}\]
We kunnen #x# ook vrijmaken bij moeilijkere functies, zoals de volgende voorbeelden.
\[y=21+4^{3.8\cdot x+8}\]
\(\begin{array}{rcl}
y&=&21+4^{3.8\cdot x+8}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
4^{3.8\cdot x+8}&=&y-21\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omgedraaid en constante term naar rechts gehaald}}\\
3.8\cdot x+8&=&\log_{4}\left(y-21\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ geeft } b=\log_a\left(c\right)}\\
3.8\cdot x&=&\log_{4}\left(y-21\right)-8\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante term naar rechts gehaald}}\\
x&=&\dfrac{\log_{4}\left(y-21\right)-8}{3.8}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten delen door }3.8}
\end{array}\)
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
