Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Meer logaritmische vergelijkingen
Een belangrijke regel om logaritmische vergelijkingen op te lossen is de volgende regel.
\[\log_\blue{a}\left(\green{b}\right)=\log_\blue{a}\left(\purple{c}\right)\] geeft \[\green{b}=\purple{c}\]
Voorbeeld
\begin{array}{rcl}\log_\blue{2}\left(\green{x}\right)&=&3\\\log_\blue{2}\left(\green{x}\right)&=&\log_\blue{2}\left(\blue{2}^3\right)\\\green{x}&=&\blue{2}^3\\\green x &=&\purple{8}\end{array}
Het voorbeeld dat gegeven is, is uiteraard een beetje een flauw voorbeeld. Het wordt interessant als we deze regel gebruiken om vergelijkingen van de volgende vorm op te lossen.
\[
\log_{4}\left(x+6\right)=\log_{4}\left(13\right)
\]
Gebruik geen macht en geef je antwoord in de vorm #x=\ldots#
\(\begin{array}{rcl}
\log_{4}\left(x+6\right)&=&\log_{4}\left(13\right)\\
&&\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
x+6&=&13\\
&&\blue{\log_a\left(b\right)=\log_a\left(c\right)\text{ geeft }b=c}\\
x&=&7\\
&&\blue{\text{constante term naar rechts halen}}
\end{array}\)
Met behulp van de rekenregels voor logaritmes kunnen we moeilijkere vergelijkingen herschrijven naar #\log_\blue{a}\left(\green{b}\right)=\log_\blue{a}\left(\purple{c}\right)#, die we kunnen oplossen. In sommige gevallen zullen we de abc-formule moeten gebruiken. Als we dit doen moeten we wel nagaan of de oplossingen voldoen; de logaritme is namelijk niet gedefinieerd voor negatieve getallen.
Logaritmische vergelijkingen oplossen met rekenregels en de abc-formule
Stappenplan | Voorbeeld | |
We lossen een logaritmische vergelijking in onbekende #x# op met de rekenregels voor logaritmes en de abc-formule. | #2\cdot\log_2\left(x\right)=1+\log_2\left(x+4\right)# | |
Stap 1 |
Schrijf alle termen als een logaritme. |
#2\cdot \log_2\left(x\right)=\log_2\left(2\right)+\log_2\left(x+4\right)# |
Stap 2 |
Breng producten naar binnen met de derde rekenregel. |
#\log_2\left(x^2\right)=\log_2\left(2\right)+\log_2\left(x+4\right)# |
Stap 3 |
Neem logaritmes samen tot een vergelijking van de vorm #\log_\blue{a}\left(\green{b}\right)=\log_\blue{a}\left(\purple{c}\right)#. |
#\log_\blue{2}\left(\green{x^2}\right)=\log_\blue{a}\left(\purple{2x+8}\right)# |
Stap 4 |
Schrijf de vergelijking #\green{b}=\purple{c}# op. |
#\green{x^2}=\purple{2x+8}# |
Stap 5 |
Herschrijf de vergelijking #\green{b}=\purple{c}# tot een vergelijking die je op kan lossen met de abc-formule. |
#\green{x^2}-\purple{2x-8}=0# |
Stap 6 |
Los de vergelijking op met behulp van de abc-formule.
|
#x=4 \vee x=-2# |
Stap 7 |
Controleer of de oplossingen voldoen
|
#x=4# #x=-2# |
\[2\cdot \log_3\left(x\right)-4=\log_3\left(7 x+9\right)\]
Schrijf:
- #geen# als er geen oplossing is,
- #x=x_1# als er één oplossing is,
- #x=x_1\lor x=x_2# als er twee oplossingen zijn,
Bij het uitwerken maken we gebruik van het stappenplan.
Stap 1 | \[\begin{array}{rcl}2\cdot \log_3\left(x\right)-4&=&\log_3\left(7 x+9\right)\\&&\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\2\cdot \log_3\left(x\right)-\log_{3}\left(3^{4}\right)&=&\log_3\left(7 x+9\right)\\&&\blue{b=\log_a\left(a^b\right)}\\2\cdot \log_3\left(x\right)-\log_{3}\left(81\right)&=&\log_3\left(7 x+9\right)\\&&\blue{\text{macht uitwerken}}\end{array}\] |
Stap 2 | We brengen de producten naar binnen. \[\begin{array}{rcl}\log_3\left(x^2\right)-\log_{3}\left(81\right)&=&\log_3\left(7 x+9\right)\\&&\blue{n\cdot \log_a\left(b\right)=\log_a\left(b^n\right)}\end{array}\] |
Stap 3 | We nemen logaritmes samen tot een vergelijking van de vorm #\log_\blue{a}\left(\green{b}\right)=\log_\blue{a}\left(\purple{c}\right)#. \[\begin{array}{rcl}\log_\blue{3}\left(\green{\frac{1}{81} x^2}\right)&=&\log_\blue{3}\left(\purple{7 x+9}\right)\\&&\blue{\log_a\left(b\right)-\log_a\left(c\right)=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)}\end{array}\] |
Stap 4 | We schrijven de vergelijking #\green{b}=\purple{c}# op \[\begin{array}{rcl}\green{\frac{1}{81} x^2}&=&\purple{7 x+9}\end{array}\] |
Stap 5 | We herschrijven de vergelijking #\green{b}=\purple{c}# tot een vergelijking die je op kan lossen met de abc-formule. \[\begin{array}{rcl}\green{\frac{1}{81} x^2}-\purple{7 x-9}&=&0\end{array}\] |
Stap 6 | We lossen de vergelijking op met behulp van de abc-formule. \[x_1=\frac{7+\sqrt{{{445}\over{9}}}}{{{2}\over{81}}}\vee x_2=\frac{7-\sqrt{{{445}\over{9}}}}{{{2}\over{81}}}\] |
Stap 7 | We controleren of de oplossingen voldoen. #x_1# is positief, dus als we #x_1# invullen krijgen we overal positieve logaritmes, dus #x_1# voldoet! We zien in dat #x_2# een negatieve waarde is, als we deze in zouden vullen zouden we aan de linkerkant van de vergelijking een negatieve logaritme hebben staan, wat niet mag! Dus enkel #x_1# voldoet. |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.