Fonctions composées

Dérivation: Dérivée de fonctions composées

Fonctions composées

Si nous avons une fonction $g(x)$ , alors nous n'avons pas nécessairement besoin de substituer une variable ou un nombre pour $x$ , nous pouvons également substituer une expression ou une fonction $h(x)$ .

Fonctions composées

En substituant la fonction $\green{h(x)}$ pour $x$ dans la fonction $\blue{g(x)}$ , nous obtenons une nouvelle fonction $f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}$ Nous appelons celle-ci une fonction composée de $\blue{g}$ et de $\green{h}$ .

Exemple

$\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}$ et $\green{h(x)}=\green{x+3}$ donnent:

$f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}$

Les fonctions composées $\blue{g(\green{h(x)})}$ et $\green{h( \blue{g(x)})}$ ne sont généralement pas égales: en choisissant $\blue{x^2}$ et $\green{x+1}$ . Nous obtenons alors:

$\begin{array}{crl}\blue{g( \green{h(x)})} &=& \blue{(\green{x+1})^2}=x^2+2x+1\\ \green{h(\blue{g(x)})} &=& x^2+1\end{array}$

Ainsi, $\blue{g( \green{h(x)})}$ et $\green{h( \blue{g(x)})}$ sont des fonctions différentes.

Il est important de reconnaître ces fonctions composées et de savoir les décomposer.

$\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{donne}\quad\blue{g(x)}=\blue{x^6}\quad\text{et}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}$

Savoir reconnaître des fonctions composées nécessite beaucoup de pratique.

La fonction $f(x)=3+\sqrt{x+3}$ est une fonction composée de quelles fonctions $g$ et $h$ ? Plus précisément, $f(x)=g(h(x))$ pour quelles fonctions $g$ et $h$ ?

$g(x)=x+\sqrt{x}$ et $h(x)=3+\sqrt{x}$

$g(x)=x+3$ et $h(x)=3+\sqrt{x}$

$g(x)=3+\sqrt{x}$ et $h(x)=3+x$

$g(x)=3+\sqrt{x}$ et $h(x)=3 x$