Volgorde

De samenstellingen $\blue{g(\green{h(x)})}$ en $\green{h( \blue{g(x)})}$ zijn in het algemeen niet gelijk: kies $\blue{x^2}$ en $\green{x+1}$. Dan hebben we:

$$\begin{array}{crl}\blue{g( \green{h(x)})} &=& \blue{(\green{x+1})^2}=x^2+2x+1\\ \green{h(\blue{g(x)})} &=& x^2+1\end{array}$$

Dus $\blue{g( \green{h(x)})}$ en $\green{h( \blue{g(x)})}$ zijn verschillende functies.

Notatie

Wanneer we $\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}$ en $\green{h(x)}=\green{x+3}$ schrijven heeft de variabele $x$ in $\blue{g(x)}$ niets te maken met de variabele $x$ in $\green{ h(x) }$. De $x$ in deze functies heeft alleen betekenis in combinatie met $\blue{g(x)}= \ldots$ of $\green{ h(x) }= \ldots$. We kunnen net zo goed schrijven $\blue{g(y)} = \blue{\sqrt{h}}$. Hier is $h$ nu de variabele. Ongeacht welke variabele we gebruiken voor $\green{g(x)}$ geldt steeds $\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}$.

Plaatje
Stel dat $\blue{g(h)}=\blue{h^4}$ en $\green{h(x)}=\green{x^2-5x}$. Dan geldt $f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\left(\green{x^2 - 5x} \right)^{4}}$.

Dan kunnen we voor de samenstelling van een functie het volgende plaatje tekenen.

Merk op dat we hier de alternatieve notatie zoals bij het kopje "Notatie" gebruiken.

Alternatieve notatie

Om verwarring tussen de verschillende $x$-en te vermijden is het handig om de functie $g(x)$ te schrijven als $g(h)$. Doe je dit dan krijg je voor de bovenstaande voorbeelden.

$$\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sqrt{h}}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sin(h)}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{geeft}\quad\blue{g(h)}=\blue{h^6}\quad\text{en}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}$$