De afgeleide van goniometrische functies

Differentiëren: De afgeleide van standaardfuncties

De afgeleide van goniometrische functies

Voor de goneometrische functies $\blue{\sin}(x), \green{\cos}(x)$ en $\purple{\tan}(x)$ hebben we regels om de afgeleide te bepalen. Deze regels gelden alleen ten opzichte van goneometrische functies in radialen.

De afgeleide van sinus

$\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{\sin}(x)=\green{\cos}(x)$

Voorbeeld

$\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\blue{\sin}(x))=3\cdot\green{\cos}(x)$

De afgeleide van cosinus

$\dfrac{\dd}{\dd x}\green{\cos}(x)=-\blue{\sin}(x)$

Voorbeeld

$\dfrac{\dd}{\dd x}(4\cdot\green{\cos}(x))=-4\cdot\blue{\sin}(x)$

De afgeleide van de tangens kunnen we op twee manieren opschrijven.

De afgeleide van tangens

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&\dfrac{1}{\green{\cos}(x) ^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&1+\purple{\tan} (x)^2\end{array}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&\dfrac{3}{\green{\cos}(x)^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&3+3\cdot\purple{\tan}(x)^2\end{array}$

In het hoofdstuk over goniometrische functies hebben we gezien dat $\tan(x)$ gedefiniëerd is als $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Nu we de afgeleiden van $\sin(x)$ en $\cos(x)$ weten, kunnen we met behulp van de quotiëntregel, die later wordt behandeld, de afgeleide van $\tan(x)$ eenvoudig bepalen.

We kunnen het echter ook bewijzen door gebruik te maken van de productregel en de kettingregel. Hiervoor schrijven we

$f(x)=\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}$ De productregel geeft

$f'(x)=\cos(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'$ We kunnen de afgeleide $\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'$ berekenen door deze te zien als de compositie van $\dfrac{1}{x}$ en $\cos(x)$ . Kettingregel toepassen geeft

$\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'= -\dfrac{1}{\cos(x)^2}\cdot (-\sin(x))=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}$ We vullen dit in in de afgeleide van $f(x)$ :

$f'(x)=1 + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2$

Het is niet moeilijk om in te zien dat beide notaties van de afgeleide van $\tan(x)$ hetzelfde zijn. We brengen in herinnering dat

$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ Kwadrateren geeft

$\tan(x)^2=\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}$ Door de identiteit $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ te gebruiken, schrijven we dit om naar

$\tan(x)^2=\dfrac{1-\cos(x)^2}{\cos(x)^2}=\dfrac{1}{\cos(x)^2}-1$ We tellen vervolgens bij beide kanten $1$ op om de gelijkheid te zien:

$1+\tan(x)^2=\dfrac{1}{\cos(x)^2}$

Voor het berekenen van de afgeleiden van goniometrische functies hebben we vaak de productregel en somregel nodig. Ook kunnen we de kettingregel gebruiken voor het vinden van de afgeleiden van goniometrische functies

Bepaal de afgeleide van de functie $3\cdot \sin \left(x\right)-8$ .

$\frac{\dd}{\dd x} \left(3\cdot \sin \left(x\right)-8\right) =$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x} \left(3\cdot \sin \left(x\right)-8\right) &=&\displaystyle \frac{\dd}{\dd x} \left(3 \cdot\sin(x)\right) +\frac{\dd}{\dd x} \left(-8\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel}}\\ &=& \displaystyle3 \cdot \frac{\dd}{\dd x} \left(\sin(x)\right) +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constanteregel en afgeleide van constante is }0}\\ &=& \displaystyle3\cdot \cos \left(x\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de afgeleide van }\sin(x)\text{ is }\cos \left(x\right)}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld