Dérivée de fonctions composées

Dérivation: Dérivée de fonctions composées

Dérivée de fonctions composées

Nous appelons la dérivée d'une fonction composée également la règle de dérivation en chaîne (selon l'appellation anglaise). La règle de la chaîne, nous donne un moyen de calculer la dérivée d'une fonction composée.

La règle de dérivation en chaîne

Pour une fonction composée $f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}$ , nous avons:

$\begin{array}{c} f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)} \end{array}$

Exemple

$\begin{array}{rcl}f(x)&=&\blue{(\green{x^2-5x})^4} \\ f'(x) &=& \orange{4(\green{x^2-5x})^3} \cdot \purple{(2x-5)} \end{array}$

Nous présenterons une esquisse de la preuve de la règle de la chaîne. Nous écrivons $\epsilon$ pour la variation, au lieu de $h$ , afin d'éviter toute confusion entre $h$ et $h(x)$ .

$\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\displaystyle\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{f(x)=g(h(x))}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{multiplication par }1=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{échange des dénominateurs}}\\ \end{array}$

Par définition, nous avons $h'(x)=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}$ . Montrer que $\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}$ est égale à $g'(h(x))$ est plus difficile. Nous utiliserons, sans autre explication, le fait que si $\epsilon$ tend vers zéro, la différence $h(x+\epsilon)-h(x)$ tend également vers zéro. Nous pouvons donc considérer $h(x)+\epsilon$ au lieu de $h(x+\epsilon)$ , car si nous laissons tendre $\epsilon$ vers $0$ , cela n'importe pas. Nous avons maintenant

$\begin{array}{rcl}\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}&=&\frac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{h(x)+\epsilon-h(x)}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{substitution de }h(x+\epsilon)\text{ par }h(x)+\epsilon}\\ &=&\frac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{simplification}}\\ &=&g'(h(x))\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{définition de la dérivée avec }h(x)\text{ comme variable}} \end{array}$

Nous obtenons bien que $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ pour $f(x)=g(h(x))$ .

Pour utiliser la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons appliquer la procédure étape par étape suivante.

Procédure étape par étape de règle de la chaîne	Étape par étape	Exemple
	Calculez la dérivée d'une fonction composée: $f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}$ .	$\qqquad \begin{array}{rcl} f(x)\phantom{'}&=&(x^2-1)^3\end {array}$
Étape 1	Déterminez les fonctions $\blue{g(x)}$ et $\green{h(x)}$ de la fonction composée $f(x)$ .	$\qqquad \begin{array}{rcl}\blue{g(x)}\phantom{'}&=&\blue{x^3}\\ \green{h(x)}\phantom{'}&=&\green{x^2-1}\end {array}$
Étape 2	Calculez les dérivées $\orange{g'(x)}$ et $\purple{h'(x)}$ .	$\qqquad \begin{array}{rcl}\orange{g'(x)}&=&\orange{3x^2}\\ \purple{h'(x)}&=&\purple{2x}\end {array}$
Étape 3	Calculez la dérivée de $f$ à l'aide de la formule: $\begin{array}{c} f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)} \end{array}$	$\qqquad \begin{array}{rcl} f'(x)&=& \orange{3(\green{x^2-1})^2}\cdot \purple{2x}\\&=&(3x^4-6x^2+3)\cdot \purple{2x}\\&=& 6x^5-12x^3+6x\end {array}$

Calculez la dérivée $f'(x)$ de $f(x)=$ $\sqrt{5-x^3}$ .

$f'(x)=$ $-{{3\cdot x^2}\over{2\cdot \sqrt{5-x^3}}}$

Étape 1	Nous distinguons $g(x)$ et $h(x)$ par lesquelles $f(x)$ est composée. En d'autres mots, les fonction pour lesquelles $f(x)=g(h(x))$ . $\begin{array}{rcl} g(x)&=&\displaystyle \sqrt{x}\\ h(x)&=& \displaystyle5-x^3\end{array}$
Étape 2	Nous calculons les dérivées $g'(x)$ et $h'(x)$ . $\begin{array}{rcl} g'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=& \displaystyle{{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance}}\end{array}$ $\begin{array}{rcl} h'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(5-x^3\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=& \displaystyle-3\cdot x^2\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme et d'une puissance}}\end{array}$
Étape 3	Nous calculons la dérivée $f'(x)$ . $\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=& \displaystyle g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle de la chaîne}}\\ &=& \displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{h\left(x\right)}}}\cdot -3\cdot x^2\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }g' \text{ et }h'}\\ &=& \displaystyle\displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{5-x^3}}} \cdot (-3\cdot x^2)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ substitution de }h(x)}\\ &=& \displaystyle -{{3\cdot x^2}\over{2\cdot \sqrt{5-x^3}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}$

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