De kettingregel

Differentiëren: De kettingregel

De kettingregel

Een samenstelling van functies noemen we ook wel een ketting. De kettingregel geeft ons een manier om de afgeleide van een samengestelde functie te berekenen.

De kettingregel voor differentiatie

Voor een samengestelde functie #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}# geldt:

\[\begin{array}{c}
f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)}
\end{array}\]

Voorbeeld\[\begin{array}{rcl}f(x)&=&\blue{(\green{x^2-5x})^4} \\
f'(x) &=& \orange{4(\green{x^2-5x})^3} \cdot \purple{(2x-5)}
\end{array}\]

We zullen een grove versie geven van het bewijs voor de kettingregel. We schrijven niet #h# voor het verschil, maar #\epsilon#, om verwarring tussen #h# en #h(x)# te voorkomen.

\[\begin{array}{rcl}
f'(x)&=&\displaystyle\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} \\
&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{f(x)=g(h(x))\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{vermenigvuldigd met }1=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}}\\
&=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{noemers omgewisseld}}\\
\end{array}\]

Er geldt dat #h'(x)=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}#. Het is lastiger om in te zien dat de uitdrukking #\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}# gelijk is aan #g'(h(x))#. Zonder verdere uitleg zullen we hiervoor gebruiken van het feit dat als #\epsilon# heel klein wordt, het verschil #h(x+\epsilon)-h(x)# ook heel klein wordt. Met andere woorden, het maakt niet uit of we naar #h(x+\epsilon)# of #h(x)+\epsilon# kijken, omdat we uiteindelijk #\epsilon# toch naar #0# laten gaan. We krijgen dan

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}&=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{h(x)+\epsilon-h(x)}\\
&&\phantom{xx}\blue{h(x+\epsilon)\text{ vervangen door }h(x)+\epsilon}\\
&=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{\epsilon}\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
&=&g'(h(x))\\
&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide met }h(x)\text{ als variabele}}
\end{array}\]

We zien nu dat er inderdaad geldt dat #f'(x)=g'(h(x)\cdot h'(x)#, als #f(x)=g(h(x))#.

Om de kettingregel te gebruiken kunnen we dit stappenplan gebruiken.

Stappenplan kettingregel	Stappenplan	Voorbeeld
	Bepaal de afgeleide van een functie die opgebouwd is uit meerdere functies: #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}#.	#\qqquad \begin{array}{rcl} f(x)\phantom{'}&=&(x^2-1)^3\end{array}#
Stap 1	Onderscheid de simpelere functies #\blue{g(x)}# en #\green{h(x)}# waaruit #f(x)# bestaat.	#\qqquad\begin{array}{rcl}\blue{g(x)}\phantom{'}&=&\blue{x^3}\\ \green{h(x)}\phantom{'}&=&\green{x^2-1}\end{array}#
Stap 2	Bepaal de afgeleiden #\orange{g'(x)}# en #\purple{h'(x)}#.	#\qqquad\begin{array}{rcl}\orange{g'(x)}&=&\orange{3x^2}\\ \purple{h'(x)}&=&\purple{2x}\end{array}#
Stap 3	Bereken de afgeleide van #f# met de formule: \[\begin{array}{c} f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)} \end{array}\]	#\qqquad \begin{array}{rcl} f'(x)&=& \orange{3(\green{x^2-1})^2}\cdot \purple{2x}\\&=&(3x^4-6x^2+3)\cdot \purple{2x}\\&=& 6x^5-12x^3+6x\end{array}#

Bereken de afgeleide #f'(x)# voor #f(x)=# #\sqrt{2-x^4}#.

#f'(x)=# #-{{2\cdot x^3}\over{\sqrt{2-x^4}}}#

Stap 1	We onderscheiden de simpelere functies #g(x)# en #h(x)# waaruit #f(x)# bestaat. Met andere woorden, de functies zodat #f(x)=g(h(x))#. #\begin{array}{rcl} g(x)&=&\displaystyle \sqrt{x}\\ h(x)&=& \displaystyle2-x^4\end{array}#
Stap 2	We berekenen de afgeleides #g'(x)# en #h'(x)#. #\begin{array}{rcl} g'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=& \displaystyle{{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{machtsregel}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(2-x^4\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=& \displaystyle-4\cdot x^3\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel en machtsregel}}\end{array}#
Stap 3	We berekenen de afgeleide #f'(x)#. #\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=& \displaystyle g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{kettingregel}}\\ &=& \displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{h\left(x\right)}}}\cdot -4\cdot x^3\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{invullen van }g' \text{ en }h'}\\ &=& \displaystyle\displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{2-x^4}}} \cdot (-4\cdot x^3)\\ &&\phantom{xxx}\blue{h(x)\text{ ingevuld}}\\ &=& \displaystyle -{{2\cdot x^3}\over{\sqrt{2-x^4}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}#

Nieuw voorbeeld