We zullen een grove versie geven van het bewijs voor de kettingregel. We schrijven niet $h$ voor het verschil, maar $\epsilon$, om verwarring tussen $h$ en $h(x)$ te voorkomen.

$$\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\displaystyle\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{f(x)=g(h(x))\text{ ingevuld}}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{\epsilon}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{vermenigvuldigd met }1=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{h(x+\epsilon)-h(x)}}\\ &=&\displaystyle\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}\cdot \frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{noemers omgewisseld}}\\ \end{array}$$

Er geldt dat $h'(x)=\frac{h(x+\epsilon)-h(x)}{\epsilon}$. Het is lastiger om in te zien dat de uitdrukking $\frac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}$ gelijk is aan $g'(h(x))$. Zonder verdere uitleg zullen we hiervoor gebruiken van het feit dat als $\epsilon$ heel klein wordt, het verschil $h(x+\epsilon)-h(x)$ ook heel klein wordt. Met andere woorden, het maakt niet uit of we naar $h(x+\epsilon)$ of $h(x)+\epsilon$ kijken, omdat we uiteindelijk $\epsilon$ toch naar $0$ laten gaan. We krijgen dan

$$\begin{array}{rcl}\dfrac{g(h(x+\epsilon))-g(h(x))}{h(x+\epsilon)-h(x)}&=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{h(x)+\epsilon-h(x)}\\ &&\phantom{xx}\blue{h(x+\epsilon)\text{ vervangen door }h(x)+\epsilon}\\ &=&\dfrac{g(h(x)+\epsilon)-g(h(x))}{\epsilon}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ &=&g'(h(x))\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide met }h(x)\text{ als variabele}} \end{array}$$

We zien nu dat er inderdaad geldt dat $f'(x)=g'(h(x)\cdot h'(x)$, als $f(x)=g(h(x))$.