Het differentiequotiënt in een punt

Differentiëren: De afgeleide

Het differentiequotiënt in een punt

Met behulp van het differentiequotiënt kunnen we de verandering in één punt van een grafiek benaderen.

Voor de functie $\blue{f(x)}=\blue{x^2}$ willen we de verandering in het punt $\green{x}=\green{2}$ benaderen. Daarvoor nemen we het differentiequotiënt over een interval rond $\green{2}$ :

$[\green{2},\green{2}+\orange{h}],$

waarbij we $\orange{h}$ steeds kleiner kiezen.

Hoe kleiner we $\orange{h}$ kiezen, hoe beter we de verandering in het punt benaderen. We zien dat deze waardes steeds dichter bij $4$ liggen als we $\orange{h}$ kleiner kiezen. De verandering in een punt noemen we ook wel de helling.

Voor elke functie kunnen we de verandering in een punt $x=a$ benaderen door het differentiequotiënt op het interval $[a,a+h]$ te bepalen.

De differentiequotiënt op een interval van lengte h

Voor een functie $\blue{f}$ is het differentiequotiënt in het punt $\green{x}=\green{a}$ met verschil $\orange{h}$ als volgt gedefiniëerd:

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(\green{a}+\orange{h})-f(\green{a})}{\orange{h}}$

We kunnen $\orange{h}$ laten staan in onze berekening.

Voorbeeld

$\blue{f(x)}=\blue{x^2}$ en $\green{a}=\green{4}$ geven:

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{(\green{4}+\orange{h})^2-\green{4}^2}{\orange{h}}\\&=& \dfrac{16+8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2-16}{\orange{h}} \\&=& \dfrac{8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2 }{\orange{h}} \\&=& 8+\orange{h}\end{array}$

Geef het differentiequotiënt in het punt $x=5$ met verschil $h$ van de functie $f(x)=4 x + 2$ . Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=$ $4$

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{f(5+h)-f(5)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie differentiequotiënt in }x=5 }\\&=&\dfrac{4\cdot(5+h)+2-(4\cdot5+2)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{5 \text{ ingevuld in }f}\\ &=&\dfrac{20+4\cdot h -20}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&\dfrac{4\cdot h}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{opgeteld}}\\&=&4\\&&\phantom{xxx}\blue{h \text{ weggedeeld}}\end{array}$

Nieuw voorbeeld