Sens de variation

Dérivation: Applications de la dérivation

Sens de variation

Une fonction $f$ est $\blue{\text{croissante}}$ si $x$ augmente alors $f(x)$ augmente.

Une fonction $f$ est $\green{\text{décroissante}}$ si $x$ augmente alors $f(x)$ diminue.

Dans l'exemple, nous voyons qu'une fonction peut être à la fois croissante et décroissante. Nous disons que la fonction est croissante sur l'intervalle $\ivoo{-\infty}{6}$ et décroissante sur l'intervalle $\ivoo{6}{\infty}$ .

plaatje

Nous pouvons vérifier si une fonction est croissante ou décroisante en un point $x$ en regardant le dérivée en ce point.

Une fonction $f$ est $\blue{\text{croissante}}$ en un point $x$ si $f'(x)\gt 0$ .

Une fonction $f$ est $\green{\text{décroissante}}$ en un point $x$ si $f'(x)\lt 0$ .

Une fonction $f$ peut passer de $\blue{\text{croissante}}$ à $\green{\text{décroissante}}$ (et inversément) en un point $p$ si $f'(p)=0$ .

Exemple

$\begin{array}{rcll}f(x)&=&x^3-8x& \text{et } f'(x)=3x^2-8\\ f'(2)&=&4&\text{donc }f\blue{\text{ est croissante }}\text{en }x=2\\f'(1)&=&-5&\text{donc }f\green{\text{ est décroissante }}\text{en }x=1\end{array}$

Déterminer sur quel intervalle la fonction est croissante ou décroissante

	Étape par étape	Exemple
	les $f$ est $\blue{\text{croissante}}$ .	$f(x)=\left(x-4\right)^2+6$
Étape 1	Déterminez la dérivée de $f$ .	$f'(x)=2\left(x-4\right)$
Étape 2	Déterminez les racines de la dérivée.	$x=4$
Étape 3	Pour des points à gauche et à droite des racines, déterminez si $f'$ est positive ou négative.	$f'(0)=-8$ et $f'(6)=4$
Étape 4	Maintenant, déterminez les intervalles sur lesquels $f$ est croissante. La fonction $f$ est croissante si $f'(x) \gt 0$ .	$f$ $\blue{\text{ est croissante }}$ sur $\ivoo{4}{\infty}$

Cela fonctionne de la même manière pour les intervalles sur lesquels $f$ est $\green{\text{décroissante}}$ , alors $f'(x)\lt0$ .

La fonction $f(x)=-7x^2+4x+5$ est croissante sur l'intervalle $\ivoo{-\infty}{a}$ et décroissante sur l'intervalle $\ivoo{a}{\infty}$ . Quelle est la valeur de $a$ ? Simplifiez votre réponse autant que possible.

$a=$ ${{2}\over{7}}$

Étape 1	Nous déterminons la dérivée de $f$ en utilisant la dérivée d'une puissance. Cela donne: $f'(x)=-14x+4$
Étape 2	Nous résolvons l'équation $-14x+4=0$ $\begin{array}{rcl}-14x+4&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ -14x&=&-4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }4} \\ x&=&\displaystyle {{2}\over{7}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }-14} \\\end{array}$
Étape 3	$f'(-2)=32$ $f'(2)=-24$
Étape 4	Ainsi, la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\ivoo{-\infty}{{{2}\over{7}}}$ et décroissante sur l'intervalle $\ivoo{{{2}\over{7}}}{\infty}$ . Donc $a={{2}\over{7}}$ .

Voici le graphe de $f$ .

Nouveau exemple