Dérivée seconde

Dérivation: Applications de la dérivation

Dérivée seconde

La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ peut être dérivée à nouveau. Nous appelons cela la dérivée seconde de $f$ .

Pour une fonction $\blue{f(x)}$ , nous désignons la dérivée seconde par:

$\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)$

Exemple

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}$

La dérivée seconde est utile pour déterminer les extremums d'une fonction $f(x)$ . Nous avons vu précédemment que la condition $f'(c)=0$ n'implique pas nécessairement que $c$ correspond à un extremum. Le théorème suivant nous aidera à déterminer si une telle valeur correspond à un extremum ou non.

Si pour une fonction $\blue{f(x)}$ et un point $x=\purple{c}$ nous avons

$\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0$
$\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0$ ,

alors $\blue{f(x)}$ a un extremum en $\purple{c}$ .

Si $\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0$ , alors $\purple{c}$ correspond à un minimum local. Si $\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0$ , alors $\purple{c}$ correspond à un maximum local.

voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\ \orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\ \green{f''(x)}&=&\green{4}\\ \orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\ \green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}$

Dans l'exemple, $\blue{f(}\purple{-\frac{1}{4}}\blue{)}=\frac{3}{8}$ est un minimum local de $\blue{f(x)=2x^2+x}$ .

Ce théorème n'est pas valable si $\purple{c}$ est une borne du domaine de définition de $\blue{f(x)}$ .

La méthode étape par étape pour déterminer les extremums d'une fonction $f(x)$ devient beaucoup plus simple en utilisant ce théorème. Il suffit de vérifier le signe de la dérivée seconde des racines trouvées à l'étape 3.

Calculez $f''(x)$ pour $f(x)=4\cdot x^3-3\cdot x-4$ .

Simplifiez votre réponse autant que possible.

$f''(x)=$ $24\cdot x$

Nous calculons d'abord la dérivée première en utilisant la dérivée d'une puissance.
$f'(x)=12\cdot x^2-3$
Nous calculons ensuite la dérivée seconde de la même manière.
$f''(x)=24\cdot x$

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