Intégrale définie

Intégration: Intégrale définie

Intégrale définie

Supposez que $\orange F$ est une primitive de la fonction $\blue f$ . L'intégrale définie de $\blue f$ avec la borne inférieure $a$ et la borne supérieure $b$ est:

$\int_a^b \blue f(x) \; \dd x = \orange F(b) - \orange F(a)$

Nous utilisons souvent la notation $\left[\orange F(x)\right]_a^b$ pour $\orange F(b) - \orange F(a)$ .

Exemple

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^3 \blue{x^2} \; \dd x &=& \left[\orange{\frac{1}{3}x^3}\right]_0^3\\ &=& \frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot 0^3\\ &=& 9-0 \\ &=&9 \end {array}$

Constante d'intégration

Comme $\orange F(b)$ et $\orange F(a)$ ont la même constante d'intégration $\green C$ , il n'a pas d'importance quelle valeur de $\green C$ nous choisissons pour la solution. Nous choisissons souvent $\green C=0$ .

Règles de calcul

Les règles de calcul des intégrales indéfinies sont valables pour les intégrales définies.

Calculer l'intégrale définie suivante:
$\int_{-6}^{6} 4 x \,\dd x$

$0$

Les intégrales définies sont calculées avec la formule suivante:
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)$
Ainsi, pour calculer une intégrale définie, nous devons d'abord déterminer la primitive de la fonction:
$\begin{array}{rcl} F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition du primitif}}\\ &=&\displaystyle \int 4 x \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué }f(x)=4 x \text{ dans l'equation}}\\ &=&4\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ avec }c=4}\\ &=&4 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ avec }n=1}\\ &=&\displaystyle 2 x^2 + C\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\ &=&\displaystyle 2 x^2\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{omis la constante d'intégration}}\\ \end{array}$
Maintenant que la primitive est connue, l'intégrale définie peut être calculée:
$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition d'une intégrale définie}}\\ \displaystyle \int_{-6}^{6} 4 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(2 (6)^2\right) - \left(2 (-6)^2\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué les valeurs limites dans la primitive}}\\ &=&\displaystyle72-72\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\ &=&\displaystyle 0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}} \end{array}$

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