Bepaalde integraal

Integreren: De bepaalde integraal

Bepaalde integraal

Stel dat $\orange F$ een primitieve functie is van de functie $\blue f$ . De bepaalde integraal van $\blue f$ met ondergrens $a$ en bovengrens $b$ definiëren we als:

$\int_a^b \blue f(x) \; \dd x = \orange F(b) - \orange F(a)$

In uitwerkingen gebruiken we vaak de notatie $\left[\orange F(x)\right]_a^b$ . Dit is een kortere notatie voor $\orange F(b) - \orange F(a)$ .

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^3 \blue{x^2} \; \dd x &=& \left[\orange{\frac{1}{3}x^3}\right]_0^3\\ &=& \frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot 0^3\\ &=& 9-0 \\ &=&9 \end{array}$

Integratieconstante

Aangezien zowel $\orange F(b)$ als $\orange F(a)$ dezelfde integratieconstante $\green C$ heeft, maakt het voor de uitkomst niet uit welke waarde van $\green C$ we kiezen. Omdat het makkelijk rekenen kiezen we daarom vaak $\green C=0$ .

Rekenregels

Voor bepaalde integralen gelden dezelfde rekenregels als voor onbepaalde integralen.

Bereken onderstaande bepaalde integraal:

$\int_{-2}^{2} 6 x \,\dd x$

$0$

Bepaalde integralen worden berekend met de volgende formule:

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)$
Om een bepaalde integraal te berekenen, moeten we dus eerst de primitieve van de functie bepalen:

$\begin{array}{rcl} F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie van een primitieve}}\\ &=&\displaystyle \int 6 x \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{f(x)=6 x \text{ in de vergelijking gesubstitueerd}}\\ &=&6\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ met }c=6}\\ &=&6 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ met }n=1}\\ &=&\displaystyle 3 x^2 + C\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ &=&\displaystyle 3 x^2\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constante van integratie weggelaten}}\\ \end{array}$
Nu de primitieve bekend is, kan de bepaalde integraal berekend worden:

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie van een bepaalde integraal}}\\ \displaystyle \int_{-2}^{2} 6 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(3 (2)^2\right) - \left(3 (-2)^2\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{grenswaarden in de primitieve ingevuld}}\\ &=&\displaystyle12-12\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ &=&\displaystyle 0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld