Bepaalde integraal

Integreren: De bepaalde integraal

Bepaalde integraal

Stel dat #\orange F# een primitieve functie is van de functie #\blue f#. De bepaalde integraal van #\blue f# met ondergrens #a# en bovengrens #b# definiëren we als:

\[\int_a^b \blue f(x) \; \dd x = \orange F(b) - \orange F(a)\]

In uitwerkingen gebruiken we vaak de notatie #\left[\orange F(x)\right]_a^b#. Dit is een kortere notatie voor #\orange F(b) - \orange F(a)#.

Voorbeeld

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^3 \blue{x^2} \; \dd x &=& \left[\orange{\frac{1}{3}x^3}\right]_0^3\\ &=& \frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot 0^3\\ &=& 9-0 \\ &=&9 \end{array}#

Integratieconstante

Aangezien zowel #\orange F(b)# als #\orange F(a)# dezelfde integratieconstante #\green C# heeft, maakt het voor de uitkomst niet uit welke waarde van #\green C# we kiezen. Omdat het makkelijk rekenen kiezen we daarom vaak #\green C=0#.

Rekenregels

Voor bepaalde integralen gelden dezelfde rekenregels als voor onbepaalde integralen.

Bereken onderstaande bepaalde integraal:
\[\int_{-4}^{4} 7 x \,\dd x\]

#0#

Bepaalde integralen worden berekend met de volgende formule:
\[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)\]
Om een bepaalde integraal te berekenen, moeten we dus eerst de primitieve van de functie bepalen:
\[\begin{array}{rcl}
F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie van een primitieve}}\\
&=&\displaystyle \int 7 x \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{f(x)=7 x \text{ in de vergelijking gesubstitueerd}}\\
&=&7\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ met }c=7}\\
&=&7 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ met }n=1}\\
&=&\displaystyle \frac{7}{2} x^2 + C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
&=&\displaystyle \frac{7}{2} x^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante van integratie weggelaten}}\\
\end{array}\]
Nu de primitieve bekend is, kan de bepaalde integraal berekend worden:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie van een bepaalde integraal}}\\
\displaystyle \int_{-4}^{4} 7 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(\frac{7}{2} (4)^2\right) - \left(\frac{7}{2} (-4)^2\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{grenswaarden in de primitieve ingevuld}}\\
&=&\displaystyle56-56\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
&=&\displaystyle 0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld