Integración: Técnicas de integración
Integrales trigonométricas
Usando el método de sustitución, también podemos resolver integrales trigonométricas.
Este video explica cómo utilizar el método de sustitución para resolver la integral trigonométrica #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x#, donde #\blue{m} # y #\orange{n} # son números enteros no negativos.
El video solo está disponible en inglés.
La voz en el vídeo está generada por IA y no es una voz humana.
A menudo usamos las siguientes identidades trigonométricas.
\[\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \]
\[\cos(x)^2 = \frac{\cos(2x)+1}{2}\]
\[\sin(x)^2 = \frac{1-\cos(2x)}{2}\]
#\int \cos(x)^9\cdot \sin(x) \,\dd x=# #-{{\cos(x)^{10}}\over{10}} + C#
Aplicamos el método de sustitución con #g(x)=-x^9# y #h(x)=\cos(x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(x)^9\cdot \sin(x)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(x)^9\cdot \sin(x) \,\dd x&=& \displaystyle \int -\cos(x)^9 \cdot -\sin(x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=-\sin(x)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-\cos(x)^9 \right) \, \dd(\cos(x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int -u^9 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(x)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^{10}}\over{10}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(x)^{10}}\over{10}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(x)}
\end{array}\]
Aplicamos el método de sustitución con #g(x)=-x^9# y #h(x)=\cos(x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(x)^9\cdot \sin(x)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(x)^9\cdot \sin(x) \,\dd x&=& \displaystyle \int -\cos(x)^9 \cdot -\sin(x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=-\sin(x)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-\cos(x)^9 \right) \, \dd(\cos(x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int -u^9 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(x)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^{10}}\over{10}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(x)^{10}}\over{10}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(x)}
\end{array}\]
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