Règles de calcul des primitives

Intégration: Primitives

Règles de calcul des primitives

Comme pour la dérivation, nous pouvons donner une règle pour la somme et une règle pour la constante pour trouver des primitives.

Pour les fonctions $\blue f$ et $\purple g$ :

$\begin{array}{c} \displaystyle \int \blue{f(x)}+\purple{g(x)} \; {\dd}x = \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x + \int \purple{g(x)}\;{\dd}x \end{array}$

Exemples

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\ &=& x^2 + 4x + \green {C} \end {array}$

Une seule constante d'intégration

Notez que nous utilisons seulement une constante d'intégration $\green C$ dans la réponse finale.

Lorsque nous travaillons sur les intégrales indéfinies dans l'étape intermédiaire, nous obtenons deux constantes d'intégration. Cependant, nous pouvons combiner ces constantes d'intégration dans une nouvelle constante d'intégration, ce qui est la raison pour laquelle nous n'utilisons qu'une seule dans notre réponse finale.

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\ \\ &=& x^2 + \green{C_1}+ 4x + \green {C_2} \\ \\ &=& x^2 + 4x + \green {C} \end {array}$

Pour une fonction $\blue f$ et une constante $\orange c$ :

$\begin{array}{c} \displaystyle \int \orange c \cdot \blue{f(x)} \; {\dd}x = \orange c\cdot \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x \end{array}$

Exemple

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\ &=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\green C \\ &=& 3x^3+\green C \end {array}$

Une seule constante d'intégration

Notez que nous utilisons la constante d'intégration $\green C$ dans la réponse finale, au lieu de $\orange c \cdot \green C$ . En effet, nous pouvons les combiner en une nouvelle constante d'intégration.

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\ &=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\orange9 \cdot \green{C_1} \\ &=& 3x^3+\green C \end {array}$

Déterminez une primitive $F$ de la fonction $f(x)=4\cdot x^8+3\cdot x^5$ .

$F(x)=$ ${{4\cdot x^9}\over{9}}+{{x^6}\over{2}}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int 4\cdot x^8+3\cdot x^5 \dd x &=&\displaystyle \int 4 \cdot x^{8}\, \dd x + \int 3 \cdot x^5\, \dd x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul }\displaystyle \int f(x) + g(x) \, \dd = \int f(x) \, \dd x + \int g(x) \, \dd x}\\ &=&\displaystyle 4 \cdot \int x^{8}\, \dd x + 3 \cdot \int x^5 \, \dd x\\ &&\phantom{xxx}\displaystyle \blue{\text{règle de calcul }\int c\cdot f(x)\,\dd x = c \cdot \int f(x) \, \dd x}\\ &=&\displaystyle \frac{4}{8+1}\cdot x^{8+1}+\frac{3}{5+1}\cdot x^{5+1}\\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul }\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\ &=&\displaystyle {{4\cdot x^9}\over{9}}+{{x^6}\over{2}}+C\\ &&\displaystyle\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}$

Comme une primitive est demandée, nous pouvons choisir $C=0$ . Donc:
$F(x)={{4\cdot x^9}\over{9}}+{{x^6}\over{2}}$

Nouveau exemple