Aire

Intégration: Intégrale définie

Aire

L'aire de la surface #\orange S# au-dessus de l'axe des #x# et délimitée par le graphe de #\blue{f}#, les droites #x=a# et #x=b# est égale à

\[\int_a^b \blue f(x) \; \dd x\]

geogebra

Nous appelons la surface d'un point de départ fixe jusqu'à #x# en dessous #\blue f# et au-dessus de l'axe des #x#, #\orange A(x)# (voir la figure à droite).

Nous allons d'abord démontrer que #\orange A(x)# est une primitive de #\blue f#. Pour le prouver, nous montrons que #A'(x)=\blue{f}(x)#.

À partir de la définition de la dérivée:

\[A'(x)=\frac{\orange A(x+h)-\orange A(x)}{h} \text{ avec } h \to 0\]

ggb 1

La surface de #\orange A(x+h)-\orange A(x)# peut être vue dans la figure à droite. Pour les petites valeurs de #h# la partie violette peut être approchée par un rectangle de côtés #h# et #\blue f(x)#. Cela veut dire

\[\orange A(x+h)-\orange A(x) \approx \blue f(x) \cdot h\]

En divisant les deux membres par #h#, nous obtenons

\[\blue f(x) \approx \frac{\orange A(x+h)-\orange A(x)}{h}\]

En laissant tendre #h \to 0#, nous voyons en effet que \[\blue f(x)=A'(x)\]

Ainsi, nous avons prouvé que #\orange A(x)# est une primitive de #\blue f#.

ggb 2

Enfin, nous voyons dans la figure à droite, la situation dans laquelle nous voulons connaître la surface de #a# à #b# en dessous #\blue f#. Nous pouvons voir que cette surface est égale à #\orange A(b)-\orange A(a)#.

Comme #\orange A(x)# est une primitive de #\blue f(x)#, en utilisant la définition de l'intégrale définie, la surface de #a# à #b# en dessous #f# est égale à: \[\orange A(b)-\orange A(a)=\int_a^b \blue f(x) \; \dd x\]

ggb 3

Application en physique

Comme la dérivation, l'intégration a beaucoup d'applications dans la vie réelle. Par exemple, nous pouvons l'utiliser pour calculer une distance parcourue. Supposons qu'un avion décolle et que pour les premières #20# secondes il atteint une vitesse de #v(t)=\frac{1}{2}t^2#, alors l'aire de la surface délimitée par #v(t)# et les droites #t=0# et #t=20# est égale à la distance parcourue.

\[\int_{0}^{20}v(t)\, \dd t=\int_{0}^{20}\frac{1}{2}t^2\, \dd t =\left[\frac{1}{6}t^3\right]_{0}^{20}=\frac{4000}{3}\]

Ainsi, l'avion a parcouru une distance d'environ #1330# mètres au cours des premières #20# secondes.

Nous avons vu comment calculer une surface au-dessus de l'axe des #x#. De la même manière nous pouvons calculer une surface en dessous de l'axe des #x#.

L'aire de la surface #\orange S# qui se trouve en dessous de l'axe des #x# et délimitée par le graphe de #\blue{f}#, les droites #x=a# et #x=b# est égale à:

\[-\int_a^b \blue f(x) \; \dd x\]

geogebra

De même comme pour une surface au-dessus de l'axe des #x#, nous pouvons démontrer que #\int_a^b \blue f(x) \; \dd x# est égale à #-(\text{aire})#.

Finalement, nous présentons une procédure pour calculer la surface délimitée par le graphe de #\blue f#, l'axe des #x# et les droites #x=a# et #x=b#. Ici, la surface peut être en partie au-dessus et en partie en dessous du graphe.

	Procédure	Exemple
	Déterminez l'aire d'une surface délimitée par le graphe #\blue f#, l'axe des #x# et les droites #x=a# et #x=b#.	La surface délimitée par #\blue f(x)=-(x-3)^2+4#, l'axe des #x# et #x=0# et #x=6#
Étape 1	Déterminez les points d'intersection avec l'axe des #x# du graphe de #\blue f# entre #x=a# et #x=b#. Nous appellerons ces racines #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# s'il y a #n# racines.	#x_1=1#, #x_2=5#
Étape 2	Pour chaque intervalle #\ivco{a}{x_1}#, #\ivoo{x_1}{x_2}#, #\ldots#, #\ivoc{x_n}{ b}# déterminez si les ordonnées #y# de #f# sont positives ou négatives.	\[f(x)\begin{cases}\lt0&\text{si } x \in \ivco{0}{1}\\ \gt0&\text{si } x \in \ivoo{1}{5} \\ \lt 0 &\text{si } x \in \ivoc{5}{6}\end{cases} \]
Étape 3	L'aire de la surface est égale à: \[\pm \int_a^{x_1} \blue f (x)\; \dd x \pm \int_{x_1}^{x_2} \blue f (x)\; \dd x \pm \ldots \pm \int_{x_n}^{b} \blue f(x) \; \dd x \] Ici, nous avons un signe plus devant l'intégrale si #f# est positive sur cet intervalle et un signe moins si #f# est négative.	\[\begin{array}{c}-\int_{0}^{1} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ + \int_{1}^{5} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ - \int_{5}^6 (x-3)^2+4 \; \dd x\end{array}\]
Étape 4	Calculez les intégrales définies et déterminez l'aire.	#\frac{46}{3}#

Graphiquement

Dans la figure ci-dessous, l'aire de la surface orange est l'aire que nous venons de calculer dans l'exemple ci-dessus.

plaatje stappenplan

La figure ci-dessous montre le graphe de la fonction #f(x)=x^2+5\cdot x+4# tracé pour #x\in\ivcc{-4}{6}#. La surface délimitée par la fonction #f# et l'axe des #x# est coloriée en gris.

Calculez l'aire de la surface.
Donnez votre réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

#\frac{577}{3}#

Étape 1	La seule racine de #f(x)=x^2+5\cdot x+4# entre #x=-4# et #x=6# est #x_1=-1#. L'autre racine du polynôme est #x=-4#, mais cela n'a pas d'importance pour le calcul.
Étape 2	#f(x)# est négative sur #[-4,-1)# et positive sur #[-1,6)#.
Étape 3	L'aire de la surface est égale à \[-\int_{-4}^{-1} f(x) \, \dd x+ \int_{-1}^{6}f(x) \, \dd x\]
Étape 4	Nous calculons les intégrales définies. \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-4}^{-1} x^2+5\cdot x+4 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{5\cdot x^2}\over{2}}+4\cdot x\right]_{-4}^{-1}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition}}\\ &=&\displaystyle -{{11}\over{6}} - {{8}\over{3}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution des bornes et simplification}}\\ &=&\displaystyle -{{9}\over{2}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}\] \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-1}^{6} x^2+5\cdot x+4 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{5\cdot x^2}\over{2}}+4\cdot x\right]_{-1}^{6}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition}}\\ &=&\displaystyle 186 +{{11}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution des bornes et simplification}}\\ &=&\displaystyle {{1127}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}\] Nous obtenons: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle -\int_{-4}^{-1} f(x) \, \dd x+ \int_{-1}^{6}f(x) \, \dd x&=&\displaystyle -(-{{9}\over{2}})+{{1127}\over{6}}\\&=&\displaystyle \frac{577}{3} \end{array}\]

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