Integreren: Primitieven
Primitieven en de kettingregel
Bij differentiëren hebben we de kettingregel gezien. Deze kan ook een rol spelen bij het integreren van functies. We zullen nu eerst kijken naar hoe we functies van de vorm #f(ax+b)# integreren met behulp van de kettingregel. Later zullen we de substitutiemethode bekijken, dat is een algemenere vorm van integreren met de gevolgen van de kettingregel.
Een functie #f(\blue ax+b)# heeft als primitieve de functie #\frac{1}{\blue a}F(\blue ax+b)+\green C#, waarbij #F# een primitieve van #f# is. Dus:
\[\displaystyle \int f(\blue ax+b) \; \dd x = \frac{1}{\blue a} F(\blue ax+b)+\green C\]
Voorbeeld
#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(\blue 3 x+5) \; \dd x&=&\frac{1}{\blue 3} \cdot -\cos(\blue3 x+5) \\ &=& -\frac{1}{3}\cos(3x+5)\end{array}#
#F(x)=# #{{\left(4\cdot x+3\right)^4}\over{16}}#
We gebruiken de kettingregel voor integreren om de integraal te bepalen, en merken op dat de functie van de vorm #g(4\cdot x + 3)# is, met #g(x)=x^{3}#.
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \left(4\cdot x+3\right)^3 \, \dd x &=&\displaystyle \int g(4 \cdot x + 3) \, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omschrijven naar de vorm }g(ax+b) \text{ met } g(x)=x^{3}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\cdot G(4 \cdot x + 3)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitschrijven kettingregel voor integreren}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3+1}(4 \cdot x + 3)^{3+1}+C\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{gebruik regel} \int x^{n} \; \dd x =\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\text{ om } f(x) \text{ te integreren}}\\
&=&\displaystyle {{\left(4\cdot x+3\right)^4}\over{16}}+C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
Omdat er maar om één primitieve gevraagd wordt, kunnen we nu #C=0# kiezen. Dat geeft:
\[F(x)={{\left(4\cdot x+3\right)^4}\over{16}}\]
We gebruiken de kettingregel voor integreren om de integraal te bepalen, en merken op dat de functie van de vorm #g(4\cdot x + 3)# is, met #g(x)=x^{3}#.
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \left(4\cdot x+3\right)^3 \, \dd x &=&\displaystyle \int g(4 \cdot x + 3) \, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omschrijven naar de vorm }g(ax+b) \text{ met } g(x)=x^{3}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\cdot G(4 \cdot x + 3)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitschrijven kettingregel voor integreren}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3+1}(4 \cdot x + 3)^{3+1}+C\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{gebruik regel} \int x^{n} \; \dd x =\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\text{ om } f(x) \text{ te integreren}}\\
&=&\displaystyle {{\left(4\cdot x+3\right)^4}\over{16}}+C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
Omdat er maar om één primitieve gevraagd wordt, kunnen we nu #C=0# kiezen. Dat geeft:
\[F(x)={{\left(4\cdot x+3\right)^4}\over{16}}\]
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.